LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. I r

Si deux des angles adjacents sont égaux, les quatre angles formés par les deux droites sont nécessairement égaux entre eux.

Dans ce cas, les deux droites AC, BD ?>oni perpendiculaires l'une sur l'autre (12).

Ainsi, lorsqu'une droite BD est perpendiculaire sur une autre AC, AC est réciproquement perpendiculaire sur BD.

On appelle angle droit tout angle dont un côté est perpendiculaire sur l'autre {fig* 7).

THÉORÈME

15. Par un point donné A, on peut toujours mener une perpendiculaire à une droite donnée XY, et l'on ne peut en mener qu'une,

1° Supposons le point Asilué horsÙQ la droite XV {fig. n).

Désignons par A' le point sur lequel vient s'appliquer le point A, lorsqu'on plie la figure autour de la droite XY, de manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie inférieure. Replaçons ensuite la figure dans sa première position et menons la. droite AA% qui rencontrera XY en un certain point B, puisque A et A' sont de part et d'autre de XY. La droite AA' sera perpendiculaire à XY.

En effet, si l'on replie de nouveau la figure autour de XY, BA coïncide avec BA', et les angles adjacents ABX, A'BX sont égaux. Par suite, XB ou XY est perpendiculaire sur AA' (14) et, réciproquement, AA' ou AB est perpendiculaire sur XY.

Toute autre droite AC, distincte de AB et passant par le point A, est oblique sur XY.

En effet, si l'on replie encore la figure autour de X Y, A vient en A', et l'angle ACB coïncide avec l'angle A'CB. D'ailleuis, comme on ne peut mener qu'une droite par les deux points A et A', CA' diffère du prolongement CD de AC. L'angle ACB, égal à l'angle A'CB, est donc, comme lui, différent de l'angle DCB ou de l'angle ACX opposé par le sommet à l'angle DCB (13).

2° Supposons le point A situé sur la droite XY {fig- 12).

Fig. 12.

Considérons, dans le plan de la figure, une autre droite ZU et l'unique perpendiculaire OH (1°) abaissée du point extérieur 0 sur celte droite. Transportons alors celte nouvelle figure sur la première, de manière que le point H vienne au point A et que la droite ZU coïncide avec la droite XY. La droite OH deviendra la droite AB et sera une perpendiculaire élevée en A à la droite XY.

On ne peut élever par le point A d'autre perpendiculaire à la droite XY; en d'autres termes, toute droite telle que AC, distincte de AB, est oblique à XY. En effet, l'angle BAX étant, par h^/pothèse^ égal à l'angle BAY, on voit que l'angle CAX, égal à la somme des angles BAX et BAC, diffère nécessairement de l'angle CAY égal à la différence des mêmes angles.

Corollaire.

IG. Tous les angles droits sont égaux.

Soient {fig. i3) les deux angles BAC, B'A'C, qui ont été formés, le premier en élevant la perpendiculaire AB sur AC, le second en élevant la perpendiculaire A'B' sur A'C; ces deux angles sont droits, et il faut démontrer qu'ils sont égaux. Transportons à cet effet la deuxième figure sur la première, de façon que le point A' tombe en A et que le côté A'C s'applique sur AC; le côté A'B' deviendra alors perpendiculaire