Inscrire un carré dans un triangle. — Discussion

219. Inscrire dans un rectangle donné un rectangle semblable à un autre rectangle donné. — Discussion,

220. Un angle AOB, tournant autour de son sommet 0, intercepte sur les côtés d'un angle fixe, supplémentaire du premier, une corde AB : trouver le lieu des points qui divisent cette corde dans un rapport donné.

392 GBOMÉTRIE PLANE.

221. «r, b^ c, désignant les longueurs des trois côtés d'un triangle; p^ r/, r, celles des trois hauteurs; x., /, z, les côtés des trois carrés inscrits; x\ y, a', les côlés des trois carrés ex-inscrits : démontrer les relations

222. Sur la base BG d'un triangle ABC, on décrit extérieurement au triangle un carré BCDE; on mène les droites AD et AE qui coupent BC en P et Q : démontrer que PQ est égal au côté du carré inscrit dans le triangle ABC et reposant sur BG.

223. Dans tout triangle ABG, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle intérieur A, est égal au produit de la bissectrice de l'angle extérieur supplémentaire par la distance du milieu de BG à la première bissectrice; de même, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle extérieur A est égal au produit de la bissectrice de l'angle intérieur supplémentaire par la distance du milieu de BG à la première bissectrice.

224. La distance d'un point M d'une circonférence à une corde quelconque est la moyenne proportionnelle des distances du même point aux tangentes menées par les extrémités de- la corde considérée.

225. Le produit des distances d'un point quelconque d'une circonférence à deux côlés opposés d'un quadrilatère inscrit dans cette circonférence, est égal au produit des distances du même point aux deux autres

côtés.

226. Si des trois sommets d'un triangle et du point de rencontre de ses médianes, on mène des parallèles dans une direction donnée jusqu'à un axe quelconque, la dernière parallèle est la moyenne arithmétique des trois premières.

227. Étant donnés deux triangles et un point, mener par ce point une droite telle, que les sommes respectives des distances des sommets des

deux triangles à cette droite soient dans un rapport donné — •

§ IV. — Relations métriques entre les différentes parties d'un triangle.

228. Si, du milieu d'un des côtés d'un triangle rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur l'hypoténuse, la difîérence des carrés des seg-

QUESTIONS PIlOrOSÉES. SqS

ments déterminés sur l'hypoténuse est égale au carré de l'autre côté du triangle.

229. Soit l'angle droit AOB placé au centre de la circonférence OA. D'un point quelconque C pris sur l'arc AB, on abaisse sur OA ou sur OB la perpendiculaire CD, qui rencontre en E le rayon, bissectrice de l'angle AOB : démontrer la relation

CD'-f-DË' = ÔÂ'.

230. Si, d'un point pris dans le plan d'un polygone, on abaisse des perpendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommes des carrés des segments ainsi déterminés, pris alternativement, sont égales.

231. Étant donné un cercle 0, on décrit un demi-cercle sur l'un de ses rayons OA, et l'on mène à ce rayon une perpendiculaire CDE qui coupe le cercle 0 en D et le demi-cercle OA en E : démontrer la relation

Âd'=:2ÂË'.

232. Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est le double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

233. Soit G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC; démontrer la relation

Âb' + ÂcVbc'= 3(ÂG'H-BG'-f-CG').

— En déduire le rapport de la somme des carrés des côtés d'un triangle à la somme des carrés de ses médianes.

234. Soient G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC, et M un point quelconque pris dans son plan: démontrer la relation

MÂV Mb' -f- MC' = Ag' + Bg' + Cg' -t- 3MG\

235. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la gomme des carrés des distances aux trois sommets du triangle est constante et égale à un carré donné P,

236. La somme des carrés de deux côtés d'un quadrilatère, plus la somme des carrés des diagonales, est égale à la somme des carrés de£ deux autres côtés, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les milieux de ces côtés.

237. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la

scmme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit dtîs bases.

238. Si l'on prend deux points à égale distance du centre sur le diamètre d'un cercle, la somme des carrés des distances d'un point de la circonférence à ces deux points est constante.

239. Dans tout triangle ABC, le produit des distances des points B etC è la bissectrice de l'angle intérieur A est égal au carré de la moitié de BC, diminué du carré de la demi-différence des côtés AB et AC; de mémo, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle extérieur A est égal au carré de la demi-somme des côtés AB et AC, diminué du carré de la moitié de BC.

240. Le sommet A d'un rectangle ABCD est fixe, les sommets B et D se meuvent sur un même cercle ; quel est le lieu du sommet C opposé au sommet A?

241. Trouver le lieu des points qui partagent les diverses cordes d'un cercle donné en deux segments (additifs ou soustractifs) dont le produit soit constant,

242. Étant donnés un cercle 0 et un point P, trouver le lieu des points M tels, que la distance MP soit égale à la tangente menée du point M au cercle 0.

243. b et c étant les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et h la hauteur qui correspond à l'hypoténuse, démontrer la relation