DROITE ET POINTS HARMONIQUEMENT ASSOCIÉS A UN POINT DONNÉ
6. Soit M un point quelconque du plan ABC (/%. 4)« Les droites AM, BAI, CM rencontrent BG, GA, AB aux points Mi, M2, M3; désignons par
Fig. 4.
mi, mj, ma les conjugués harmoniques de ces points par rapport aux extrémités des côtés correspondants du triangle ABG. On a les égalités 311 et 331)
MiB M2G M3A Ml G M2A M3B MiJ miB M2G WaG M3A m^k . MiG~ miG* M2A ~ /WaA' M3B " W3B'
(') Emile Lemoine, Association française pour V avancement des Sciences ^ Congrès de Blois (i884).
d'où l'on déduit
NOTE m.
miB W5C WsA miC niiA. W3B "" ' miB M2G M3A m, C M2A M3B ""'* MiB ma G WsA Ml G ma A m^^ ~
Par conséquent (310, 326) : i** Les points mi, ma, m^ sont situés sur une même droite m, axe d'iiomologie du triangle fondamental ABG et du triangle M1M2M3 (triangle pédal de M);
2" Les droites Ami, Bma, Cmg forment un triangle MaM^Ma dont les sommets sont situés sur les droites AM, BM, GM. (Gomparer avec le n" 315.)
La droite m est dite harmoniquement associée au point M; on l'appelle également polaire trilinêaire de M. M est le point harmonique ment associé à la droite m ou le pôle trilincaire de m. Les points M», M^, Me.
Fig. 5.
sont harmoniquement associés à M; ce sont les conjugués harmoniques do M par rapport aux segments AMi, BMj, GM3. Enfin, les polaires tri-
linéaires des points Ma, M^, Me, ou les droites miM^Mz, MimsMa, M1M2W3, sont harmoniquement associées à la droite mim^mz.
Si Ma est le point donné, les associés sont M, M^, M^.
Pour construire le pôle trilinéaire M d'une droite m, qui coupe les côtés du triangle fondamental en mi, m^, m^, on trace lesdroites A/wi, Bwj, G/723, qui forment un triangle MaM^Mc; les droites AMa,BMô, GMc concourent au point cherché M.
Les coordonnées d'une droite sont inversement proportionnelles aux coordonnées barycentriques de son pôle trilinéaire. Si a, p, y sont les coordonnées barycentriques ou normales d'un point, celles des points ^—associés sont
^K SCOLIE
7 i" Les associés du centre de gravité G sont les sommets du tri-
Fig. 6.
angle anticomplémentaire A'B'C (Jîg. 3); la polaire trilinéaire de G est la droite de l'infini.
R. et DE G. — Tr. de Gc'om. ( I" Partie). 29
45o î»fOTE III.
1° La polaire trilinéaire h^h^h^ de l'orthocentre H est l'axe d'homelogie du triangle fondamental ABC et du triangle orthique HiHsïIs {fig. 5); on l'appelle axe ortlnquc de ABC.
L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle des neuf points ; il est perpendiculaire à la droite d'Euler.
En effet, les quadrilatères inscriptibles A'HiHaVIs, BCH2H3 donnent
//iHi.//iA'=//iH2./2iH3, /^iB./iiC = //iH2./iiH3,
d'où //iHi.//iA'= //iB.^iC; par suite, //i appartient à l'axe radical des cercles 0, O9.
3° Les associés du centre I du cercle inscrit à ABC sont les centres la, Uj le des cercles exinscrits; la polaire trilinéaire de I joint les pieds lu H^ h des bissectrices extérieures (/%•. 6).
La droite ixiii^ est perpendiculaire à 10. En effet, ABC est le triangle orthique, et le cercle circonscrit 0 est le cercle des neuf points du triangle laUIc; donc 10 est la droite d'Euler du dernier triangle.
Soient Ii, I2, I3 les pieds des bissectrices intérieures de ABC. ABC étant le triangle orthique de chacun des triangles IIcIô, IcHa, Ulal, on démontre facilement que les droites I2I3, I3I1, I1I2 sont respectivement perpendiculaires aux droites 01a, OI0, Ole-
