POINTS INVERSES

9. Lorsque deux angles de môme sommet ont même bissectrice, nous dirons que les deux côtés de l'un des angles sont des droites isogonales par rapport à l'autre angle. Visogonale d'une droite menée par un sommet du triangle de référence est la symétrique de cette droite par rapport à la bissectrice de l'angle correspondant du triangle.

LEMME

Soient P, Q deux points quelconques pris sur deux droites isogonales par rapport à l'angle BAC {Jig- 9)-

(') E. Vigarié, Journal de Mathématiques élémentaires, i885.

1** Les distances de P aux côtés de l'angle BAC sont inversement proportionnelles à celles de Q aux mêmes côtés;

2° Les projections des points P, Q sur les deux côtés de l'angle BAC sont quatre points d'une même circonférence ;

3° La droite qui joint les projections de l'un des points P, Q ^^ ^^-^ côtés de l'angle BAC est perpendiculaire à celle qui unit l'autre point au sommet de l'angle.

Fig. 9

i" Soient Pi, Qi les projections des points P, Q sur AB, et soient Po, Qj leurs projections sur AC. Si l'on retourne le quadrilatère AQ2QQ1 autour de la bissectrice de l'angle BAC, il devient homothétique au quadrilatère AP1PP2. Il en résulte que

OO2 PPi

ou PPi.QQ, = PP2.QQ2

2** Les droites P1P2, Q1Q2 sont antiparallèles par rapport à l'angle BAC ; car leurs directions sont symétriques par rapporta la bissectrice de cet angle. Le quadrilatère P1P2Q1O2 est donc inscriptible; le centre de la circonférence circonscrite est au milieu de la droite PQ, à la rencontre des perpendiculaires élevées aux milieux des cordes PiQi, PtQî.

V Le quadrilatère AP1PP2 étant inscriptible, on a angulairement

AP2P1 = APPi = 90° - PAP2 = 90° — P2AQ; donc les droites AQ, P1P2 sont rectangulaires.

THÉORÈME

10. Soit M un point quelconque du plan du triangle ABC {fig- lo) : 1* Les isogonales des droites AM, BM, CM concourent en un même

point M/;

1" Les projections des points M, M/ sur les cotés du triangle ABC sont six points d'une même circonférence;

3" Les côtés du triangle podaire {}) de l'un des points M, M/ sont, respectivement, perpendiculaires aux droites joignant l'autre point a A, B, C ;

4° Les coordonnées normales de Mj sont inversement proportionnelles à celles de M.

1° et 2°. La première partie du théorème résulte du n° 313. On peut également l'établir, en même temps que la seconde partie, en s'appuyant sur le lemme qui précède.

En effet, soit M/ le point où se coupent les isogonales des droites AM, BM, et soient X, Y, Z, X/, Y/, Z/ les projections des points M, M/ sur les côtés du triangle ABC. La circonférence décrite du milieu de la droite MM/ comme centre et passant par Z et Z, contient les points Y, Y/, X, X/ (N.,9, 2°). Comme elle est complètement déterminée par les trois points X, Y", Z, le point M/ est aussi situé sur l'isogonale de CM.

3° et 4°. Ces propriétés résultent immédiatement de (N.,9, i* et 3*').

SCOLIE

11. Les points M, M/ sont dits inverses ou conjugués isogonaux par rapport au triangle ABC.

Les centres I, !«, Iô, le des cercles tangents aux trois côtés de ABC sont, chacun leurs propres inverses.

L'orthocentre H et le centre 0 du cercle circonscrit {fig. 5) sont des points inverses; car, la tangente en A à ce cercle et le côté BC étant antiparallèles par rapport à l'angle BAC, la hauteur AH et le rayon AO sont des lignes isogonales. Il suit de là que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs de ABC sont sur une môme circonférence.

V inverse d'un point M de la circonférence circonscrite à un triangle est à l'infini sur la direction perpendiculaire à la droite de Simson (169, 11°) de ce point. En effet, cette droite est perpendiculaire à l'isogonale de chacune des droites AM, BM, CM.

(') Nous appelons triangle podaire d'un point M, par rapport à un trianjjle ABC, le triangle XYZ qui a pour sommets les projections de M sur les côtés de ABC; inversement, le triangle ABC est appelé le triangle antipodaire de M par rapport au triangle XYZ.

TRIANGLES ORTHOLOGIQUES.

THÉORÈME

12. Si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC sur les côtés correspondants d'un triangle AiBiCi se coupent en un même point D, les perpendiculaires menées des sommets du triangle AiBiCi sur les côtés correspondants de ABC concourent aussi en un même point Y) i.

Il suffît d'établir cette proposition pour un triangle homothétique à AiBiCi. Voici trois figures où elle s'aperçoit immédiatement.

1° Soient, par rapport au triangle ABC, D/ l'inverse de D, et X/Y/Zi le triangle podaire de D/ {fg. lo). Les droites AD, BD, CD sont per-

Fig. 10.

pendiculaires aux côtés du triangle XYZ, et les droites D/Xt-jD/Yf-, D/Z/ sont perpendiculaires^ux côtés du triangle ABC.

i" Soient As, Bs.jC?, Ds les centres des cercles circonscrits aux triangles BGD, CDA, DAB, ABC {fg. ii). Les côtés du triangle A2B2C2 sont perpendiculaires aux milieux dos droites DA, DB, DC, et les droites D2A2, D2B2, D2C2 sont perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle ABC.

3° Construisons le triangle polaire de ABC par rapport à une circonférence décrite de D^comme centre avec un rayon quelconque d{fig. 12). A cet effet, nous déterminons sur les droites DA, DB, DG les points X', Y', Z' satisfaisant aux égalités