DA PX'=DB DV'=DC.DZ

et nous menons en X', Y', Z' des perpendiculaires sur DA, DB, DC; CCS perpendiculaires sont les côtés du triangle cherché A'B'C. Ou bien, nous abaissons de D des perpendiculaires DX, DY, DZ sur BG, GA, AB

Fig.

et nous déterminons sur ces droites les points A', B', G' par les conditions (2J DX.DA'= DY.DB'= DZ.DC'= d''.

SCOLIE

13. Les triangles ABG, AiBiGi sont dits orthologiques. Le théorème (N.,i2) est susceptible de l'énoncé suivant qui en fait mieux ressortir le véritable caractère :

Si l'on considère une figure composée d'un triangle ABC et de trois rayons vecteurs kD^ BD, CD, on peut toujours construire une seconde figure composée d'un triangle AiBiCi dont les côtés sont perpendiculaires aux rayons vecteurs AD, BD, CD, et de trois rayons vecteurs AiDi, BiDi, CiDi perpendiculaires aux côtés du triangle ABG.

Faisons tourner la figure AiBiCiDi d'un angle ^quelconque dans son I>lrin ou retournons-la dans son plan nous aurons le théorème suivant :

Étant donnés dans un même plan deux quadî-angles complets ( ' ) .4BCD, AiBiCiDi, si cinq côtés du premier font avec les côtés opposés du second le même angle a^ ou si leurs directions sont symétriques, par rapport à un même axe, des directions des côtés opposés du second, il existe la même relation entre les sixièmes côtés.

Les quadrangles ABCD, AiBiCiDi considérés ici, sont dits métapolaires. Si on les place dans un même plan de manière que deux sommets de même nom, par exemple A et Ai, coïncident et que les côtés opposés soient perpendiculaires, les triangles formés par les sommets restants, BCD et BiGiDi, deviennent polaires réciproques par rapport à un certain cercle décrit du sommet commun A comme centre.

Fig. 12.

Les égalités (i) et (2) (N.,42) donnent la propriété suivante : Les distances d'un sommet A du premier quadrangle aux sommets et aux côtés du triangle BCD sont inversement proportionnelles aux distances du sommet Ai de même nom du second quadrangle aux côtés et aux sommets du triangle Bi Ci Di .