MÉTAPÔLES DE DEUX TRIANGLES. -— POINTS JUMEAUX

44. Nous appelons métapôle d'un triangle ABC par rapport à un

(') Un quadrangle complet est la figure déterminée par quatre points A, B, C, D. Ces points sont les sommets, et les droites qui les joignent deux à deux sont les côtés du quadrangle. Les côtés se partagent en trois couples de côtés opposés, à savoir AB et CD, AC et BD, \D et BC.

Les côlés opposés de deux quadrangles désignés par ABCD, A'B'C'D' sont AS et CD', ACet B'D', etc.

GfiOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^7

autre triangle AiBiCi, un point D du plan ABC duquel on voit les côtés du triangle ABC sous des angles égaux aux angles ou aux suppléments des angles du triangle AiBiGf

Pour voir comment le point D se déplace lorsque la forme du triangle AiBiCi varie, nous renversons la question. A cet effet, nous supposons e point D successivement dans les différentes régions dans lesquelles e plan ABC est partagé par les côtés du triangle ABC (N.,1), et nous construisons un triangle A'B'C ayant ses côtés parallèles aux droites DA, DB, DC.

Lorsque le point D est intérieur an triangle ABC (y?^. i3),on peut mener les côtés B'C, C'A', A'B' du triangle auxiliaire parallèles à DA, DB, DC et dirigés dans le même sens; les triangles ABC, A'B'C ont donc même orientation. D est à l'intersection des arcs de trois segments capables des angles i8o° — A', iSC — B', 180* — C, construits sur BC, GA, AB

et tournés vers l'intérieur du triangle ABC. L'angle BDC étant plus grand que BAC, on a 180"— A' > A, ou A 4- A' < 180°; de même, B + B' < 180°, C -H C < I8o^

SoitD unpoint delà région 1', et soit D a leprolongementde AD(7fo'. i4). Le triangle A'B'C peut être construit de manière que ses côtés B'C, C'A', A'B' soient dirigés dans le même sens que les droites Da, DB, DC; les sens de rotation ABC, aBC étant identiques, les triangles A' B'C, ABC ont encore même orientation. Les angles BDC, CDA, ADB étant égaux à 180" — A', B', C, on peut encore dire que les circonférences des segments capables des angles 180° — A', i8o° — B', i8o° — C, construits sur.BC, CA, AB et tournés vers l'intérieur du triangle ABC, se coupent en D. L'angle BDC est plus petit que BAC, d'où A + A'>i8o°. On trouve, de la même manière, que pour un point de la région 2' ou 3', on a respectivement B + B' > 180°, Ch-C>i8o". D'ailleurs, une seule des sommes A + A', B h- B', C -+- C peut surpasser 180°.

Enfin, considérons un point D situé dans la région i {/îg. i5); appelons

Da le prolongement de AD. Le triangle auxiliaire A'B'C peut avoir ses côtés B'C, C'A', A' B' dirigés dans le même sens que les droites Da, DB, DC. Les sens de rotation ABC, aBC étant différents, les triangles ABC, A'B'C sont de sens contraires. Les circonférences DBC, DCA, DAB appartiennent aux segments capables des angles A', B', C construits sur les côtés du triangle ABC vers l'intérieur. Suivant que le point D est intérieur ou extérieur au cercle ABC, on a A — A' > o, B — B'< o, C — C < o, ou A — A' < o, B — B' > o, C — C > o. Des inégalités analogues s'appliquent aux points des régions 2 et 3.

De cette analyse, on tire les conclusions suivantes :

1° Étant donnés deux triangles ABC, AiBiCi, les circonférences des segments capables des angles 180*' — Ai, i8o°— Bi, 180° — Ci, construits sur BC, CA, AB vers l'intérieur de ABC, se coupent en un même point D tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est semblable àAiBiCi et de même sens que ABC. Ce point est intérieur au triangle ABC, si les trois sommes A -i- Ai, B + Bi, C -4- Ci sont inférieures à 180°; il tombe, respectivement, dans les régions i', 2', 3', si l'une des sommes A 4- Ai, B 4- Bi, C -h Ci est supérieure à 180°.

Fig. i5

2° Les circonférences des segments capables des angles Ai, Bi, Ci construits sur BC, CA, AB vers l'intérieur de ABC, se coupent en un même point E tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est semblable à AiBjCi et de sens opposé à ABC. Ce point appartient à la région i, si la différence A — Ai a un signe contraire à celui des différences B — Bi, C — Ci ; et alors il est intérieur ou extérieur au cercle ABC suivant que le signe de A — Ai est h- ou —, etc.

45. Un triangle ABC a donc, par rapport à un autre triangle Ai BiCj, doux métapôles D, E; pour les distinguer, nous dirons que D est le

premier mêtapôle^ E le second métapôle. Toutefois, lorsque les triangles sont semblables, le premier métapôle est l'orthocentre de ABC, et le second est un point quelconque de la circonférence ABC ; il résulte de ià qu'w/z triangle A'B'C dont les côtés sont parallèles aux droites joignant les sommets d'un triangle ABC à un point quelconque de la circonférence ABC, est inversement semblable au triangle ABC.

Soient {fig. i6) a, j3, y les secondes rencontres des droites AD, BD, CD avec les circonférences BDG, CDA, ADB. D'après la dernière remarque,

Fig. i6.

les triangles aBC, AgC, ABy sont inversement semblables au triangle dont les côtés sont parallèles à DA, DB, DC. D'où ce théorème :

Si, sur les côtés d'un triangle ABC, on construit vers l'extérieur les triangles aBC, A^G, ABy semblables à un triangle donné AjBiCi, les droites Aa, B^, Gy ^e coupent au premier métapôle D des triangles ABC, AiBiCi. Si Von construit les triangles a'BC, A^'G, ABy' je/M-

46o î^OTE III.

hlahlcs à AiBiCi et tournés vers l'intérieur de ABC, les droites A a', BP', G y' concourent au second métapôLe E.

16. Ce théorème nous conduit aux expressions des coordonnées des métapôles. Soient, en effet, a:,/, 2 les coordonnées normales deD; menons «F, a L perpendiculaires à AB, AC. Nous aurons {fig. 16)

j aL aCsin àCL ^ z "ÔF ~ aBsinaBF' or

aCL = 180" — (C + Cl), aBF = 180° — (B -f- B,),

aC sin aBC sinBi aB ~ sin aCB ~ sin Ci '

j sinBi sin(C -h Ci) z ~ sinCisin(B + Bi)*

donc

on conclut de là X ', y '. z =

sin Al . sinBi sinCi

sin(A + Ai) * sin(B + Bi)' sin(GH-G,)

Les coordonnées barycentriques de D sont proportionnelles à ax^ by^ cZy ou à

sinAsinAi sinBsinBi sinCsinCi

sin(AH- Al)' sin(B + Bi)' sin(C + Ci)'

ou encore à

cotA + cotAi cotB + cotBi colG + cotCi Pour celles du second métapôle E, on trouve

cotA — cola/ cotB — cotBi' cotC — cotCi *

Soient Di, Ei les métapôles du triangle AiBiCi par rapport au triangle ABC. Les expressions précédentes montrent que les points D, Di ont les mêmes coordonnées barycentriques, l'un dans le triangle ABC, l'autre dans le triangle Ai Bi Ci ; les points E, Ei jouissent de la même propriété.

Les métapôles D, Di appartiennent toujours à des régions correspondantes des triangles ABC, AiBiCi; il en est de même des métapôles E, El, avec cette particularité que l'un est à l'intérieur et l'autre à l'extérieur du cercle circonscrit au triangle correspondant

Los quadrangles ABCD et AiBiCiDi sont mélapolaires.

17. Entre les points D, E, il existe une relation remarquable : les deux faisceaux D (ABC), E (ABC) sont symétriquement égaux. Deux points ainsi associés par rapport à un triangle ont reçu le nom de points jumeaux.

CENTRES MÉTAHARMONIQUES DE DEUX TRIANGLES. POINTS TRIPOLAIREMENT ASSOCIÉS.

18. Étant donné un triangle ABC, si sur les rayons vecteurs DA, DB, DC issus d'un point D choisi arbitrairement dans le plan, on prend des segments DAi, DBi, DCi tels que

DA.DAi = DB.DBi = DC.DCi,

les triangles ABC, AiBiCi sont dits métaharmoniques par rapport à D. Si l'on ne considère que la forme du triangle AiBiCi, on prendra pour les points Ai, B,, Ci les secondes intersections des droites DA, DB, DC avec la circonférence ABC. L'axe d'homologie des deux triangles est alors la polaire de D par rapport à cette circonférence, et divise, avec le point D, les segments AAi, BBi, CCi harmoniquement. Si D est sur la circonférence, les points Ai, Bi, Ci sont en ligne droite (388).

THÉORÈME

19. 1° Le triangle méta/iarmonique AiB y Ci et le triangle podaire XYZ d'un triangle ABC par rapport à un même point D sont desfgures directement semblables ; i" Les côtés de ces triangles sont proportionnels aux produits des côte's opposés du quadrangle ABCD ; 3" Leurs angles sont donnes, en grandeur et en signe, par les formules

l YXZ = BiAiCi = BDC-BAC,

(i) I ZYX = C,BiAi=CDA-CBA,

( XZY = AiCiBi=ADB-ACB.

Dans l'énoncé et la démonstration de ce théorème, nous observons les conventions établies aux n°* 304 et 303 : YXZ, par exemple, désigne l'angle dont il faut faire tourner la demi-droite YX pour la faire- coïncider avec la demi-droite YZ, cet angle étant considéré comme positif ou comme négatif, suivant que la rotation s'effectue dans un sens ou dans l'autre; de plus, deux angles qui diffèrent d'un multiple de 2 7r peuvent se substituer l'un à l'autre. Avec ces conventions, si A, B, C, D sont quatre points d'une même circonférence, on peut écrire angle ACB = angle ADB, même dans le cas où C et D sont situés de part et d'autre de la corde AB.

i" Les quadrilatères inscriptibles DXBZ, DXCY, ABAiBi, ACAiCi

462 NOTE m.

donnent angulairement

DXY = DCY = CiCA = Ci A, A,

^^^ ' DXZ = DBZ = BiBA = BiA,A.

En soustrayant la première égalité de la seconde et observant que

DXZ-DXY = YXZ, BiAiA — CiA,A = BiA,C,,

on trouve

YXZ = BiA,C,i par analogie,

ZYX = CiBiA, et XZY = AiCiBi.

Les triangles AiBiCi, XYZ sont donc directement semblables.

On peut encore conclure, des égalités (2), que le point D rapporté à l'un des triangles semblables XYZ, AiBiCi, a pour homologue dans l'autre triangle son inverse pris par rapport à ce dernier.

2° Désignons par (x le produit DA.DAi, par a, b, c les côtés de ABC, par a, [3, y les distances DA, DB, DC. Nous aurons (386)

par conséquent

BiCi Cl Al AiBi (x