YZ YO' B"G ~ CO
YZ ZX XY
aoL b^ ~ cy ~^
âÏÏ
aoL b^ cy ajày
Soient 0 le centre et R le rayon du cercle ABC. Le milieu 0' de AD étant le centre d'une circonférence passant par les points A, Y, Z. D, les triangles YO'Z, BOC sont semblables; d'où
do sorte que
3" Des égalités (2), on déduit
( 3 ) DXZ - DXY = DBZ - DCY.
Or, si rt, 6, c, d désignent quatre semi-droites (408), on a l'identité
angle ab — angle cd — angle ac — angle bd,
qu'on vérifie aisément en rapportant les angles à une môme droite-origine. En l'appliquant au second membre de la relation (3), on obtient
YXZ r^ BDC - BAC.
20. 1° Le théorème précédent renferme cette propriété importante du quadrangle complet, dont nous ne pouvons donner ici que l'énoncé : A, B, C, D étant quatre points d'un même plan, on a l'équipollence
■ AB.GD-f-AD.BC-4-AG.DB = o;
autrement dit, les produits ±^^. CD, AD.BC, AG.DB sont êquipollents aux trois côtés d'un triangle.
2° Appelons triangle associé à un quadrangle complet le triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques les produits des côtés opposés du quadrangle. On voit que ce triangle est semblable à chacun des triangles podaires ou métaharmoniques de l'un des sommets du quadrangle par rapport au triangle des trois autres sommets. Au n° 240, il a été donné une autre construction d'un triangle semblable au triangle associé.
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant :
La forme du triangle associé à un quadrangle complet ne change pas, si l'on soumet les sommets de ce quadrangle à une transformation par rayons vecteurs réciproques.
3» Soient S», S*, Se, S^ les aires des triangles BGD, CDA, DAB, ABG, et soient {Jia, \^b^ H^c, H^rf les puissances des cercles circonscrits à ces triangles, respectivement par rapport aux points A, B, G, D; enfin, désignons par T Taire du triangle associé au quadrangle ABGD, c'est-àdire la quantité (428)
Nous avons trouvé ci-dessus (N.,19) les relations
, BiCi GiAi AiBi fjtrf
^^' aoL ~ b^ CY a^Y*
Il en résulte que
BiCi.CiAi.AiBi^ tx3rf
abc a2p2.^2*
Les triangles ABG, AiBiGi étant inscrits dans le môme cercle, la proposition du n" 428 (i") donne
..^ aireAiBiCi \L^d
^^ Se/ ~a2^2^2-
Les relations (4) donnent encore aire Al Bi G
En combinant les égalités (5) et (6), on voit que
(7) T = (X«Sa = [AôSô = (XcSc = flrfSrf.
Les équations (7) sont dues à von Staudt(7. de Crellej t. 57, p. 88.)
2i . Nous appelons centre métaliarmonique de deux triangles ABC, A'B'C, un point D du plan ABC, tel que le triangle métaharmonique ou podaire de ABC par rapport à ce point soit semblable à A'B'C.
Soit D/ l'inverse (N.,9 et siiiv.) du point D dans le triangle ABC; les côtés du triangle podaire de D étant perpendiculaires aux droites AD/, BD/, CD/, D,- est le métapôle (N.,14 et suiv.) de ABC, A'B'C.
Désignons par D/, E/ les deux mélapôles des triangles donnés ; les inverses D, E de ces points dans le triangle ABC sont les centres métaharmoniques de ABC, A'B'C.
Le premier centre métaharmonique D est à l'intérieur du cercle ABC ; on peut le déterminer par l'intersection des circonférences des segments capables des angles A + A', Bh- B', C + C décrits sur BC, CA, AB vers l'intérieur du triangle ABC (N.,19, 3°). Si la somme A -f- A' est supérieure à 180°, Je point D se trouve dans la région 1 (N.,1 ) et le segment décrit sur BC est capable de l'angle A -h A' — 180°.
Fig. 17.
Le second centre métaharmonique E est à l'extérieur du cercle ABC. Il appartient aux circonférences des segments capables des anglesA — A', B — B', C — C décrits sur BC, CA, AB vers l'intérieur du triangle ABC. Si la différence A — A' est négative, on décrit sur BC, vers l'extérieur du triangle ABC, un segment capable de l'angle A' — A.
Le triangle métaharmonique et le triangle podaire du premier centre* D par rapport au triangle ABC sont de même sens que ce dernier; ceux du second centre E ont une orientation différente.
THÉORÈMES
22. Soient D, E les deux centres métaharmoniques du triangle ABC par rapport au triangle A'B'C {fig. 17) : 1° Les rayons vecteurs de D sont proportionnels à ceux de E; 2° Les points D, E divisent harmoniquement un même diamètre de la circonférence ABC.
i" Soient XYZ, X'Y'Z' les triangles podaires des points D, E. On a (N.,19)
rt.AD „, a.kU
