CD ~CE
7." Soient P, Qijig. i8)les points qui divisent le segment DE harmo-
YZ
iiiquement dans le rapport r^rp' La circonférence décrite surPQ comme
diamètre passe par A, B, G (187).
SCOLIE
23. i°Les droites de Simson,X''Y''Z"etX"'Y"'Z"'(/^. 1 8), des points?
Fig. i8.
eiQ par rapport au triangle ABC di/isent les segments XX', YY', ZZ', addi-
R. el DE G. — Tr. de Géom. (I" Partie). 'ÙO
donc ce sont
DP tivement et soustractivement, dans le rapport ^^^
Jir
les droites doubles des triangles inversement semblables XYZ, X'Y'Z'; leur intersection F est le point double de ces triangles. On peut démontrer que F est au milieu de la distance des points D/, E/, inverses de D, E par rapport au triangle ABC, et qu'il appartient à la circonférence des neuf points.
2° Trouver, dans le plan du, triangle ABC, un point dont les distances aux sommets soient proportionnelles aux nombres donnés /, m, n.
Ce problème, d'après ce qui précède, admet pour solutions deux points qui divisent harmoniquement un diamètre du cercle ABC ; on parvient au même résultat en appliquant le lieu géométrique du n° 187.
En effet, soient {fig. 19) L, L' les points qui divisent le côté BG harmoniquement dans le rapport m : n^ et soient N, N' les points qui divisent AB harmoniquement dans le rapport / : m. Les circonférences décrites sur LL' et sur NN' comme diamètres se coupent en deux points D et E (réels ou imaginaires), qui résolvent le problème proposé.
Comme elle? sont orthogonales à la circonférence ABC (383), leur corde commune passe par le centre de cette courbe et est divisée harmoniquement par cette ligne.
GÉOMÉluiiS DU TRIANGLE. 4^7
Soient M, W les points qui partagent GA dans le rapport n : /. Les droites AL, BM, CN se coupent en un même point P qui a pour coordonnées barycentriques ^> — > - ; les points L', M', N' sont situés sur une
même droite/», polaire trilinéaire de P. Les cercles qui ont pour diamètres respectivement LL', MM', NN' ont même axe radical DE; leurs centres L", M", N", d'après une propriété des divisions harmoniques, divisent BC, CA, AB dans les rapports m^ : 722, n^-J^, l^im"^; la droite L"M"N'' est perpendiculaire au milieu du segment DE, et a pour coorionnées l^^ m^, n^.
2i. Deux points D, E dont les distances aux sommets du triangle fondamental sont proportionnelles aux mêmes nombres, /, m, «, sont dits tripolairement associés par rapport à ce triangle.
SYMÉDIANES (*).
25. Soient A', B', G' les milieux des côtés du triangle fondamental ABG. Les isogonales des médianes AA', BB', GG'sont appelées symédianes du triangle ABC; elles concourent en un même point K, inverse du centre de gravité G (N.,10); K est le centre des symédianes^ ou le point de Lemoine 'y"-) de ABC.
La srmédiane AK est le lieu des milieux des transversales antiparallèles à^Çx par rapport à l'angle BAC (y%. 20). Car, si l'on retourne le triangle BAC autour de la bissectrice AI, BC devient antiparallèle à sa direction primitive, et A A' coïncide avec AK.
Les conjuguées harmoniques des symédianes AK, BK, CR par rapport aux angles A, B, G du triangle fondamental coïncident avec les tangentes menées par A, B, G au cercle circonscrit. Cette propriété résulte de la précédente; car les tangentes sont parallèles aux transversales antiparallèles (338).
Désignons par K^KôKc le triangle formé par les tangentes, par Ki, K2, K3 les points de rencontre des symédianes AK, BK, GK avec BC, CA, AB. Les points Ka, K^,, K<;, pôles des cordes BC, CA, AB du cercle ABC, senties associés de K(N.,6); les triangles ABC, KaK^Kc, K1K2K3 ont, deux à deux, le môme axe dhomologie kik^k^. Cet axe est la polaire trilinéaire de K; on l'appelle souvent droite de Lemoine de ABC.
(') Maurice d'Ocagne, Nouvelles Annales de Mathématiqi^eSy 1884.
(') Emile Lemoine, dissociation française pour l'Avancement des Sciences^ Conférés de Lyon, 1878, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 1878.
Les nombreux travaux de M. E. Lemoine permettent de le regarder comme l'initiateur do la nouvelle Géométrie du triangle. Il n'est que juste de citer, à côté do lui, i\l\I. W. Brocard et J. Neuhorg.
La polaire trilinéaire de K ext aussi la polaire de ce point par rapport à la circonférence 0. Car le pôle de la droite AK, par exemple, étant à l'intersection des polaires des points A, Ka, les points Ai, A-j, ks ' sont les pôles des symédianes, et la droite kik^h est la polaire du point de Lemoine.
On conclut de cette propriété que la polaire de K est perpendicu-
laire à la droite OK et que sa distance au centre 0 est égale à ^rr? •
26. Les coordonnées normales de G étant égales au tiers dos hauteurs du iv\^x\^\Q'A^Ci,\les coordonnées normales absolues de K sont
-la, -Ib ,- Xc (N.,10), X ayant la valeur — y-
2 '2 '2 ^ ' ^' -^ a^-~{-b^-hc^
Pour déterminer le facteur X, nous avons remplacé, dans l'identité ax -\- bf -i- cz = 2.S, les quantités x, y, z par - X^, -X/^, - Xc« On peut observer que
Aa, ^ib, Ile désignant les hauteurs de ABC.
Les coordonnées normales du point K de Lemoine étant proportionnelles aux côtés de ABC, K est le centre d'homothétie de ABC et du triangle formé par les côtés extérieurs des carrés construits sur BG, CA, AB en dehors du triangle ABC.
Des expressions de ces coordonnées, on conclut encore que les coordonnées barycentriques de K sont proportionnelles à a^, b^, c^ ; donc une symédiane d'un triangle partage le côté correspondant dans le rapport des carrés des côtés adjacents.
K est le centre de gravité de son triangle podaire XYZ. En effet, les triangles KYZ, ABC, dont les angles YKZ, BAC sont supplémentaires, sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent ces angles (437); d'où
aire KYZ = 7 X2 S et, par analogie, KZX = KXY = 7 X^S. 4 4
La démonstration de ce théorème résulte également de la remarque suivante, souvent utile : Étant donné un triangle quelconque ABC, on peut toujours construire un second triangle dont les côtés et les médianes sont, respectivement, parallèles aux médianes et aux côtés du premier triangle; si G' est le centre de gravité du triangle A"BC {fig. 3 ), le second triangle est CGG'. Il suffit maintenant d'observer que les côtés
du triangle XYZ sont perpendiculaires aux médianes de ABC, et que les droites KX, KY, KZ sont perpendiculaires aux côtés de ABC.
PROBLÈME
27. Trouver dans le plan d'un triangle ABC un point P {^fig. 19) dont la somme des carrés des distances :v, f, z, aux côtés du triangle soit minimum.
Menons par le point cherché P une parallèle B'C à BC ; P doit être le point de cette parallèle qui rend minimum la somme y^ -\- z^. Or, on a l'identité
(ab'
AC'^) (j2 + s2) = ( AB'.s -^ AC'.7)2 -f- (AB'.j - AC'.s)^,
et comme la quantité AB'.z -h AC'.j a une valeur constante, égale au double de l'aire AB'C, le minimum de j^ + 32 correspond à ia relation AB'.J — AC'.s = o; d'où
j AC ' ^
z ~ AB' ~ c'
Donc AP est une symédiane du triangle ABC. On verrait de la même manière que le point cherché se trouve sur les deux autres symédianesi il se confond donc avec le point K de Lemoine.
28. Le point K est à l'intersection des droites joignant les milieux des côtés du triangle ARC aux milieux des hauteurs correspondantes {fig. 20).
En effet, en joignant le milieu A' de BC aux points A, Ki, K, Ka, on obtient un faisceau harmonique; les trois premiers rayons interceptent sur une parallèle AHi au quatrième rayon A'Ka des segments égaux (338).
29. Soient X', Y', Z' les symétriques, par rapport à K, des projeclions de K sur les côtés du triangle ABC. Ces points sont les points de Lemoine des triangles AII2H3, BHalIi, CH1H2, en désignant par H1H2H3 le triangle orthique de ABC {fg- 10).
Puisque A'K passe au milieu de AIIi, X'est situé sur la médiane AA'. La symédiane AKi de ABC passe au milieu V de l'antiparallèle H2H3; de même, la médiane AA' de ABC est une symédiane du triangle An2H3 ; soit U le point où AA' coupe H2H3. Les droites BC, H2H3, anliparallèles par r; pport à l'angle BAC, sont aussi antiparallèles par rapport à l'angle Kl A A' qui a la même bissectrice; le quadrilatère KiUVA' est donc inscriptible, et comme A'V est perpendiculaire à H2H3(A'est le centre de la circonférence BH3H2C), KiU est perpendiculaire à BC. Il en résulte que les points K, X' divisent dans le même rapport les symédianea AKi, AU des triangles semblables ABC, AH2H3; donc X' est le point do Lemoine do AH2IJ3.
SCOLIE
Le point K a les mêmes coordonnées barycentriques dans les deux triangles ABC, H1H2H3 {fig. 20). En effet, dans le trapèze AHiKiU, K est le milieu'de la parallèle XX' aux deux bases, et, comme il est situé sur la diagonale AKi, la seconde diagonale passe par K. Donc HjK passe par le pied U de la symédiane AX' du triangle AH2HS
30. Appelons a, p, y les secondes intersections des symédianes AK, BK, GK avec la circonférence ABC.
Le faisceau harmonique A(BCKKa) rencontre la circonférence ABC en quatre points B, G, a, A, dont le rapport anharmonique = — i (321). A cause de cette propriété, le quadrilatère ABaC est dit harmonique. De même, BC^A et GAyB sont des quadrilatères harmoniques.
Fig. 20.
Les perpendiculaires abaissées de a sur AC, AB sont proportionnelles è AC, AB; comme elles forment des triangles semblables avec aC, aB,
on trouve aiscmcnt
AB.aC
AG.aB=-|Aa.BG.
Aa est une symédiane des triangles ABC, aBC; BC est une symédiane des triangles BAa, CAa. Il suit de là que les distances de l'intersection des diagonales d'un quadrilatère harmonique aux quatre côtés sont proportionnelles aux longueurs de ces côtés.
31. a^Y ®st le triangle métaharmonique de ABC par rapport à K; donc il est semblable au triangle podaire XYZ de K, et ses côtés sont proportionnels aux médianes de ABC. K étant le centre de gravité de XYZ est le point de Lemoine de ajîy (N., 26), ce que l'on peut aussi démontrer directement.
CENTRES ISOGONES ET CENTRES ISODYNAMIQUES.
32. Il existe, dans le plan d'un triangle quelconque ABC, deux points U, U', d'oij l'on voit les trois côtés sous des angles de 120° ou 60°; ce sont les métapôles du triangle ABC par rapport à un triangle équilaléral (N.,1i). Nous appelons ces points centres isogones de ABC.
Construisons {Jig. 2 1 ) su r les côtés de ABC, vers l'extérieur, les triangles
équilatéraux BCmi, CA.^i, ABi^sî et, vers l'intérieur, les triangles équi-
latéraux BCm'iCAmj, ABmj. Les droites Awi, Bu^, Cih concourent en U; les droites A«',, Bm',, Cmj en U'.
Les coordonnées barycentriques de U et U' sont
cotA±/3 cotB±/3 cotG±/3
33. Lorsqu'aucun des angles A, B, G ne surpasse 120", le point U tombe à l'intérieur du triangle ABC (^^. 21). Dans ce cas, il Jouit de la propriété de rendre minimum la somme des distances d'un même point aux sommets du triangle de référence. En effet, désignons par N1N2N3 le triangle antipodaire de U par rapport à ABC; ce triangle est équilatéral et ses sommets appartiennent aux circonférences BG Wi, GAw?, ABM3. L'angle UGNi étant droit, UNi est un diamètre du cercle BG Mi ; par suite, l'angle Uz^iNi est droit et la droite Ni^i est parallèle à N2N3. Ainsi, \Qsdroites A«i, Bwsj Gms sont égales à la hauteur du triangle N1N2N3. Soient VVi,VV2, VV3 les perpendiculaires abaissées d'un point intérieur V sur les côtés de N1N2N3. La somme VVi -+- VV2 + VV3 est toujours égale à la hauteur de N1N2N3; par conséquent
UA4- UB + UG = VV, + VV2 4- VV3 < VA + VB h- VC.
Si le point V est à l'extérieur, on a, par exemple,
UA + UB + UG = VV, — VV2 - VV3 < VA -h VB H- VC.
La propriété énoncée est donc démontrée.
La discussion complète du problème de trouver le minimum de ± VA dz VB zt VC ne saurait trouver place ici ( ' ).
34. Lorsque l'angle BAC est plus grand que 120°, U tombe dans la région 1', et l'on a UB -+- UC — UA = Aa,. Lorsque les angles B et G du triangle ABC sont tous deux inférieurs à 60° ou tous deux supérieurs à 60°, le point U' tombe dans Ta région i et l'on a, respectivement, UB + UG — UA = dbAw'i.
Calculons les longueurs ku\ = j, ku\ = s'. En appliquant au triangle Amiw'i les théorèmes 230 et 23 i, nous aurons
f2-f- j'2 = 2AA' 4- 2 A' Ml , f« — i'2 = 4A'wi.AH,,
ou, à cause de b^ -\- c"^ = ikM -h-^^, A'm, = -«/S,
(») Voir J. Bertrand, Journal de LiouviUe^ t. Vlli.
par conséquent
2^2 =^2^.^2 + c2-f- 4S/3, 2S'^ = a"' -\- b"^ ^ d^ — [^"^sfl.
3o. Soient (y?i,^ 2 1 ) W, W les inverses des centres isogones U, U' dans le triangle ABC. Ces points sont les centres métaharmoniques de ABC par rapport à un triangle équilatéral, c'est-à-dire que les triangles podaires et les triangles rnétaharmoniques de W et W sont équilatéraux. Il résulte de là que
«. AW = /^.BW = c.GW, rt.AW = ^.BW = c.GW.
A cause de ces relations, les quadrangles ABGW, ABCW sont dits isodynamiques, et les points W, W sont appelés centres isodynamiques du triangle ABC. Comme on a
BW BA BW^
GW~CA~CW''
les points W, W appartiennent à la circonférence qui a pour diamètre la distance Ii i\ des pieds des bissectrices, intérieure et extérieure, de l'angle opposé; cette circonférence coupant orthogonalement celle qui est circonscrite au triangle ABC, son centre est au point ^1 (383, 332). Donc les trois circonférences qui ont pour diamètres les segments ii Ii, i^ I2, ^la compris entre les pieds des bissectrices se coupent aux centres isodynamiques W, W ; leurs centres sont sur la polaire de K. On en conclut que W, W sont sur le diamètre OK, que le milieu du segment WW appartient à la droite OK, et que OW.OW = R2.
SCOLIE
Les cercles AIiï'i, Bl2ï2, Cla^ ont reçu le nom de cercles d' Apollonius du triangle ABC. Leurs cordes communes avec le cercle ABC sont dirigées suivant les symcdianes AK, BK, CK, polaires de leurs centres /l'i, ^2, ^'3 par rapport au cercle ABC.
