POINTS, CERCLE ET TRIANGLES DE BROCARD

36. Soient A', B', C les milieux des côtés du triangle fonaamental ABC; 0, le centre du cercle circonscrit; K, le point de Lemoine.

(') H. Brocard, Nouvelles Annales de Mathématiques, iS'^'S; Nouvelle cor' respondance mathématique, 1877, 1879, 1880; Association française pour l'A' vancement des Sciences, Congrès d'Alger, i88i.

.1. Neubcrg, Mathesis, 18S1.

Le cercle décrit sur la droite OK comme diamètre a reçu le nom de cercle de Brocard; nous le désignons par cercle (OK) . Soient Ai, Bi, Ci les points où il rencontre les médiatrices OA', OB', OC, et soient A2, Bg, C2J ses points d'intersection avec les symédianes AK, BK, CK. Les triangles AiBiGi, A2B2C2 sont dits, respectivement, le premier et le xecond triangle de Brocard de ABC {ftg. 22).

FiîT. 2a.

Les droites KAi, KBi, KGi étant perpendiculaires à OA', OB', OC, les segments Ai A', BiB', CiC sont égaux aux coordonnées normales absolues de K, et par suite proportionnels à BC, CA, AB. Donc les triangles isocèles AiBC, BiCA, GiAB sont semblables. L'angle à la base de ces triangles, que nous désignons par V, QSiV angle de Brocard de ABC.

ÎÔMÉTllIE DU TRIANGLE

Le triangle Al A'B donne Ai A'

<2tangV; d'où (N.,26)

-il SL ' 1

l\ hn ~^ Il

représentant les hauteurs de ABC. Mais

rt == BHi H-H, G = //a(cotB + cotC), ...;

conséquemment,

cet V = cot A + cot B -H cot C.

37. Le triangle AiBiCi est inversement semblable à ABC; car les droites KAi, KB2, KC2 sont menées par un même point de la circonférence (OK) parallèlement aux côtés du triangle ABC (N.,15).

Cherchons le rapport de simiHtude. En tenant compte des signes des aires (*), on peut écrire

AiBiCi = OAiBi -t- OBiCi + OCiAi.

Les angles AiOBi, ACB ayant leurs côtés perpendiculaires, on a

OA,Bi OAi.OBi (OA^— AiA^)(OB — BiBQ . S ab ab '

comme 0A'= - a cot BOA' = - «cot A, AiA'= -«tan^ V, . . ., cette relation prend la forme

5^^ = -. (cotA - tang V) ( cotB — tangV).

Additionnant l'égalité précédente avec les deux autres analogues, et observant que

cotAcotB-H cotB cote -4-cotG cotA= i, cotA -f- cotB + cotG = colV,

on trouve

AiBiGi 3tang2V — I ABC ~

L'aire AiBid étant négativp, le rapport de similitude des deux tri-

(') Les aires de deux triangles, désignées par ABC, A'B'C', sont de mêm ^ signe ou de signes contraires suivant que les sens de rotation ABC, A'B'C sont les mêmes ou diffèrent. Si O est un point quelconque du plan ABC, on a

ABC = OAB 4- OBC 4- OCA.

angles AiBiCi, ABC est égal à| /i — 3tang2V, et

BiC =-«/i— 3tang2V, .-., OK = R /i — Stang^y.

LEMME

38. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit trois triangles directement semblables KRc^ BG«, Ckb : les triangles abc, ABC ont même centre de gravite'.

Supposons d'abord les points «, b. c quelconques {flg. 23) et soient G, G', G", G'" les centres de gravité des triangles ABC, aBC, abC, abc. Les médianes AA', a M étant divisées en G, G' dans le môme rapport

2 : I, la droite GG' est parallèle à A^ et égale à - Art. On en conclut

aisément qu'on passe du centre de gravité du triangle ABC à celui de abc, en construisant une ligne brisée GG'G''G"' dont les côtés sont parallèles aux droites A^, Bè, Ce et égaux aux tiers de ces droites. G"

Fig. 23.

coïncidera avec G, si les droites Art, B^, Ce sont égales et parallèles aux côtés d'un même triangle {Jig.i^).

Dans le lemme énoncé ci-dessus, les droites Ac, Brt, Cb sont proportionnelles aux côtés AB, BC, CA du triangle ABC et également inclinées sur ces côtés ; donc elles représentent en grandeur et en direction les côtés d'un triangle semblable à ABC. Les triangles ABC, cah ont donc môme centre de gravité.

39. D'après le lemme précédent, G est le point double des triangle^ semblables AiBi Cl, ABC (/Fg. 22).

Désignons par cpx',jry les bissectrices des angles A'GAi, Ai G A, et par A3, B3, C3, A4, B4, C4 les points où elles rencontrent les médiatrices OA', OB', OC. xx', j-y sont les droites doubles des triangles sem-

blablos AiBid, ABC; on les appelle /e,y «xe^ de Steiner de ABC. Comme GAi et GA' sont deux lignes homologues, on a

GA, Ai A3 A, A'— A3 A' |atangV — A3A'

nff2 V = -rm = - — — — : — t, = — —. >

y/i — 3tano:2V d'où