GA' A3 A' A3 A

rttangV

2(i-+-v/i — 3tang2V)

On voit que les triangles isocèles A3BC, B3CA, C3 AB sont semblables ; leur angle à ia base, que nous représentons par Vi et qui a reçu le

Fig. 24.

nom de premier angle de Steiner de ABC, est donné par la formule '^ A'B

cotVi

cotV -h v/cot2V~3.

De même, les triangles A4BC, B4CA, C4AB soni semblables, et leu, angle à la base {second angle de Steiner) vérifie l'égalité

cotVa = cotV — v/cot^V — 3.

40. Les perpendiculaires abaissées des sommets de ABC sur les côtés opposés de A, B, Ci concourent en un même point N ; les parallèles menées par les sommets de ABC aux cotés correspondants de AiBiCi concourent en un même point R. Les points N ef R sont les extrémités d'un même diamètre du cercle ABC ; ce sont, par rapport au triangle

ABC, les homologues des points 0, K considérés dans le plan AiBiCi.

En effet {Jîg. -22), deux droites homologues des plans AiBiCi, ABC ayant des directions symétriques par rapport à xx\ les perpendiculaires abaissées de Ai, Bi, Ci sur les côtés de ABC ont pour lignes correspondantes les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur les côtés de Ai Bi Ci.

On démontre facilement, par la considération de triangles semblables, que les coordonnées normales d'un point M de la circonférence circonscrite au triangle de référence ABC sont inversement proportionnellcb aux rayons vecteurs MA, MB, MC. Par conséquent, les coordonnées normales de 0 dans le triangle AiBiCi et celles de N dans le triangle ABC sont inversement proportionnelles à OAi = 1 (cot A — tang V), OBi, OCi ; d'oii l'on déduit qu'elles sont entre elles comme

séc(A - V) : séc(B — V) : séc(C - V).

Celles de K dans le triangle AiBiCi sont inversement proportionnelles à A'X — KAi, B'Y, C'Z, en désignant par XYZ le triangle podaire de K par rapport à ABC. Soient K2, K^ les points de rencontre de AK avec CA, OB'; BKsKK* étant une division harmonique, le segment B'Y est divisé harmoniquement par KsHs- Par conséquent (332)

Y 2 U'Ks'^B'hJ'

si l'on calcule B'K2, B'H2 en fonction de a, b, c, on trouve que les coordonnées normales de K dans AiBiCi, et celles de R dans ABC, sont

a(ù^~.c^)' b{c^---a^y c{a'^~lA)

41. Les perpendiculaires menées des milieux des côtés du triangle Al Bi Cl sur les côtés correspondants du triangle ABC concourent au centre du cercle des neuf points de ABC. Car ces droites, parallèles à OAi. OBi, OCi passent par le complémentaire 0' de 0 par rapport à AiBiCj, de sorte que GO' = \ OG.

-42. Les droites AAi, BBi, CCi concourent en un même point D, qui est le réciproque du point de Lemoine par rapport à ABC.

Si l'on coupe le faisceau harmonique A'(AKiKKa) par la droite KAi parallèle au rayon A'Ki, on voit que AA' passe au milieu de KAi ; donc AK et AAi rencontrent BC en des points isotomiques.

Nous mentionnons, sans démonstration, les propriétés suivantes : Le point D est situé sur la droite NR ; l'axe d'homologie des triangles ABC, AiBjCi est perpendiculaire à la droite OD.

43. Les droites A Ci, BAi, CBj concourent en un morne point Q du cercle (OK); les droites BGi, G Ai, ABi concourent en un second point il' du même cercle.

En effet, les droites ACj, BAi faisant le même angle avec les droites CiO, AïO se rencontrent sur la circonférence AiGiO; de même, les droites BAi, GBi se coupent sur la circonférence AiBiO. Donc les trois lignes AGi, BAi, GBi passent par un môme point de la circonférence (OK).

SCOLIE

44. 1° Les angles A QB, BûG, GûA sont égaux aie — B, tc— G, ir — A. Par conséquent, pour déterminer le point Û, on peut décrire une

circonférence passant par les sommets A, B, et tangente à BG ; » B, G, » GA;