G, A, » AB
Ges circonférences sont appelées les circonférences adjointes (AB), (BG), (GA).
Le point Q.' est à l'intersection des circonférences adjointes (BA), (BG), (AG).
Û, Q! sont les points de Brocard du triangle ABG.
2° Q est le premier métapôle des triangles ABG, GAB; Q!, celui des triangles ABG, BGA (N., 14, 15).
Soient {fig. i5) Qi, a les points de rencontre de la droite Au avec le côté BG et avec le cercle adjoint BQG. Le triangle aBG étant inversement semblable à GAB, la droite aG est parallèle à AB, et la droite aB touche le cercle ABC. Il résulte de là
oG BG BG ~AB
en éliminant a G, on trouve
Par analogie.
BQi
QiG
BQi
BA
aG'
GQs
Aû 3
li'iG
Ainsi, les coordonnées harycentriques des points S, OJ sont
leurs coordonnées normales ont pour expressions
fc a b\ fh c a\ \jb^ c^ a 1 \c a* 1) }
^8o NOTE m.
3" En comparant les coordonnées barycentriques des points K, Q, Q', on a une construction très simple pour déduire les deux derniers points du premier : les droites K1Q3, K^^uK^Qi sont parallèles à GA, AB, BG; les droites Kiû'j, K2O3, K3O; sont parallèles à GA, AB, BG.
FîQ. 25.
4° La torde ûû' du cercle (OK) est perpendiculaire sur le diamètre OK et est vue du point 0 sous l'angle 2 V. En effet, les angles QAiK, KAiû' sont égaux à V.
THÉORÈME
45. Soient Fa, Fô, Fc trois figures directement semblables, construites sur les côtes BG, GA, AB du triangle ABC comme segments homologues. Les points Aj, B2, G2 du cercle (OK) sont les centres de similitude de ¥b et Fc, ¥c et Fa, Fa et Yb (fg- 22).
Soit a la seconde extrémité de la corde symédiane AK. OA2 étant perpendiculaire à AK, As est le milieu de Aa; BA2 et BKi sont donc la médiane et la symédiane du triangle BAa ; d'où angle ABA2 = GD a = GAa
et, par analogie, angle ACAo = BGa = BAa. Les triangles CAA2, ABA2 sont donc directement semblables, et A2 est le point double (368) de
11° Le point A2 appartient aux circonférences adjointes (BA), (CA) et à la circonférence BOC. Car l'angle
Corollaires.
AA2G = 71 — A2 AC — AC A2 = Ti — A2 AC — B AA2 = ir
2" On a A2A = A2B. A2C, ^ = p"
THEOREME.
46. Les triangles Ai Bi Ci , A2 B2 C2 ont pour centre d'homologie le centre de gravite' G c?<? Ai Bi Ci ; pour axe d'homologie, la polaire de G par rapport au cercle (OK) {fig. 11).
En effet, Bi et Ci étant des points homologues de F^ et Fc, les droites homologues A2B1, A2C1 font entre elles un angle égal à celui des lignes homologues CA, AB ou égal à 7t — A; de plus, elles sont proportionnelles à CA, AB ou à Ci Ai, AiBi. Par conséquent, les points Ai, A2 sont situés de part et d'autre de BiCi, et A2B1. AiBi = AiCi. A2Cr, les triangles Ai AoBi, A1A2B2 sont donc équivalents, et A1A2 passe au miKeu de BiCi.
Comme les cordes A1A2, B1B2 se coupent en G, le point d'intersection des cordes AiBi, A2B2 appartient à la polaire de G (344), etc.
Corollaire.
Le triangle A2B2C2 est semblable au triangle podaire de G par rapport à ABC.
THÉORÈMES
47. La polaire de K par rapport au triangle ABC est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle (OK) {fg. 22).
Soient u^ v, z les points de rencontre de la droite OK avec la circonférence ABC, et avec la polaire A-i Ju A3 de K. La division harmonique uvz K donne (332)
-L = i/L I \ -gQ .
2K~~2\2W Zv) ZU.ZV*
donc 2K.2O = sw.sp, ce qui démontre le théorème.
48. La circonférence (OK) et la polaire k^k^k^ de K sont des figures inverses par rapport à la circonférence ABC (y%. 22).
R. et DE C. — Tr. de Géovi. (I" Partie). 3l
Ce théorème résulte immédia Lement de la relation OK. Os = R2(388). On en conclut que les points tripolairementasso:iés à Ai, Bi, Ci, A2, BjjCî, Q, Q' appartiennent à la droite A:i/c2/f3.
Les points Cl, Q' étant des points inverses par rapport au triangle ABC, leurs triangles podaires (N.,9) sont directement semblables à BCA, CAB. Les droites OQ, Oû' rencontrent la polaire de K en des points dont les triangles podaires sont inversement semblables à BCA, CAB. Le triangle podaire de z est inversement semblable au tiùangle dont les côtés sont parallèles aux médianes de ABC.
CERCLES TANGENTS AUX TROIS COTÉS d'l'N TRIANGLE.
49. Soient {Jig. 26) I, !«, h, h les centres du cercle inscrit et des cercles exinscrits au triangle fondamental ABC. Les points de contact de ces cercles avec les côtés BC, CA, AB sont désignés par les lettres
(a, P, ï), («1, ?u Yi), («2, P2, ïs), («3, K Ta)-
On sait que ABC est le triangle orthique de chacun des quatre triangles lahh, Ih^b, JcHa^ lù^al- Cette remarque conduit à quelques théorèmes qu'il suffit d'énoncer.
1° Les droites !««!, Ï6p2i IcYa, concourent au centre V du cercle lal^Ic; les droites la, Ic^s, hyt se coupent au centre Y a du cercle ll^ïô, etc. Les deux quadrangles WaVôVc, IJahh sont symétaques par rapport au point 0 ; les côtés du premier sont perpendiculaires aux milieux des côtés opposés du second.
2" Les droites qui joignent I^, Ib-, le ^UJC milieux A', B', C des côtés de ABC concourent au centre des symédianes du truzngle la Ib h ; les droites A'I, B'Ic, C'ib sont les symédianes du triangle llc-i/;, etc.
50. Les droites Aa, B^, Cy concourent en un point T ayant pour coordonnées barjcentriques
Les droites A ai, B^i, Cyi concourent en un point Va dont les coordonnées barjcentriques sont
Ces propositions se déduisent immédiatement des valeurs des segments Ba, Ca,
Le point r est appelé quelque fois /?<?/«/ c?e Gergonne du triangle ABC; Ta» Té, Vc sont les adjoints de V.
51. Les droites A ai, B^a» C^s concourent en un même point v, reçu proque du point V et anti complémentaire de \.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. /Jg3
Les droites A a, 8^3, Cys concourent en un même point v^, réciproque de Ta et anticomplémentaire de la, etc.
Les points a et aj, [5 et pg, y et Ys étant isotomiques (N., 7), les droites Aai,Bp2j Gy3 concourent en un point v, réciproque de F. Les coordon-" nées barycentriques de V sont égales k—a + b-Jrc^a — b + c, a-hb-^c.
Fig. 26,
^/¥xr— y<^
Ces expressions montrent que v est I anticomplémentaîre du point I, dont les coordonnées sont a, b, c. Pour établir directement cette pro-
priété, désignons par a' la seconde extrémité du diamètre al du cercle I. A étant un centre de similitude des cercles I, h, la droite ai a', qui joint les extrémités de deux rayons parallèles, passe par A; par conséquent, la droite A'I joignant les milieux de aai et aa' est parallèle à Aai, B'I et CI sont parallèles à BP25 G 73, et les points I, v sont des points complémentaires (N.,9).
Les autres parties de la proposition peuvent être établies par un procédé analogue.
V est appelé quelquefois \e point de Nagel de ABC ; v^, v^, v^ sont les adjoints de ^.
