SUR LES FIGURES SEMRLABLEMENT VARIABLES
52. Une figure est dite semblablement variable lorsqu'elle se modifie d'une manière continue en restant semblable à une figure fixe.
THÉORÈME
Lorsque trois droites «j, b^ 0% d'une figure semblablement variable çi passent par trois points fixes A, B, G, il existe un point D de cette figure qui reste fixe. Tous les points de la figure décrivent des circonférences passant par D ; une droite quelconque passe par un point fixe {fig. 27).
• Fig. 27.
Au A,
Chaque position de ©i est déterminée par les positions de trois de ses
(«) J. Neuberg, Proceedings of the London Mathematical Society, i885.
droites, pourvu que celles-ci ne soient pas concourantes. Soit Ai Bi Ci le triangle formé par «i, Z>i, ci; comme il est toujours semblable à lui-même, ses côtés tournent autour de A, B, C, dans un même sens, de quantités égales, et ses sommets parcourent trois circonférences Oa, Ob, Oc, passant par deux des points A, B, G et se coupant en un même point D, métapôle du triangle ABC par rapport au triangle AiBiCi. Les angles DBiCi, DCiBi étant constants, D est son propre homologue dans toutes les positions de çi : c'est un centre permanent de similitude.
Les perpendiculaires menées en A, B, G sur DA, DB, DG forment un triangle AqBoGo, que nous pouvons considérer comme étant la position initiale de AiBiGi. Soient O^N, OcP des perpendiculaires, et OcQ une parallèle à BiGi ; comme BiGi = 2NP = 2 00c, BoCo=2 0aOc, QOc< OèOc, les dimensions les plus grandes de la figure variable correspondent à la position initiale cpo. Le rapport de similitude de ©i et cpo a pour expression OcQ; OcO^^ cosa, a désignant l'angle GoAGi.
Soient Mo, Mi deux points homologues de cpo, 91. Les triangles DMoBo, DMiBi étant semblables, les triangles DMoMi, DBqBi le sont également, et le lieu de Mi est la circonférence 0,„ qui a pour diamètre DMo-
SoitMjM une droite quelconque de cpi. Un point Mi de cette ligne décrit une circonférence 0,„ et l'angle DMi M est constant; par suite, la droite passe par un point fixe M de la circonférence 0,„. Ge point est la projection du centre permanent D sur la position initiale Mo M de la droite.
SCOLIE
53. 1° Les droites «1, ^1, ci, à un certain moment, coïncident avec AD, BD, GD; dans cette position, tous les points de la figure variable sont confondus en D, et toutes les droites passent par D.
La figure passe deux fois par les mêmes états de grandeur : elle a les mêmes dimensions lorsque «i prend deux positions symétriques par rapport à BqGo.
2* Le centre permanent D est, dans le triangle variable AiBiGi, l'inverse du métapôle ou le centre métaharmonique de ce triangle par rapport au triangle ABG. Ce rôle de D s'aperçoit immédiatement dans le triangle AoBoGo, dont ABG est le triangle podaire par rapport à D.
3** Considérons une seconde figure cpj qui varie en restant symétriquement semblable à la figure cpi, avec la condition que les homologues des droites «1, ^1, ci passent aussi par les points A, B, G. Le centre permanent de simihtude de cp'j est le jumeau D' de D(N.,17), dans le triangle ABC. Il existe entre les triangles antipodaires de ABG par rapport aur deux points D, D' cette relation assez curieuse que nous ne faisons qu'énoncer ici : La différence des valeurs absolues de leurs aires est égale à quatre fois l'aire ABG
54. Les cas où les droites tZi, ^i, fi, dans une position particulière, coïncident, soit avec AB, BC, CA, soit avec CA, AB, BG, présentent un grand intérêt.
!*• Dans le premier cas {fig. 28), les droites «i, h^ ci font avec AB, BG, CA un même angle X. Nous désignons maintenant par Ai, Bj, Gi les points d'intersection des droites ci et a^^ «1 et èi, hx etci, de sorte que le triangle Ai Bi Ci est semblable à ABC ; ces points se meuvent sur les circonférences adjointes (CA), (AB), (BG), dont les centres sont représentés par a, p, y. Le centre permanent de similitude est le point û de Brocard, tel que ûAB = ÛBG = iiCA = V.
Soient 0 le centre du «ercle ABC ; AoBoCo le triangle antîpodaîre de û par rapport à ABC. Les angles aOp, po^, yOœ étant les suppléments des angles de ABC, 0 est le point direct de Brocard du triangle a^y» et son homologue dans le triangle AoBqGo s'obtient en prenant sur 20 une Ion-
guour QQ'q =iQO. Il résulte de là que les points directs de Brocard ues triangles AiBiGi ont pour lieu géomét/ique la circonférence décrite de 0 comme centre avec le rayon Oii.
Appelons A2B2C2 le triangle formé par les droites A a, B^, Cy; c'est une position particulière de AiBiCi. Les distances de 0 aux côtés du triangle A2B2C2 sont égales à C'A, A'B, B'C; elles sont donc proportionnelles à ces côtés, et 0 est le centre des sy médianes de A2B2G2. On déduit, de cette propriété, que le centre des symédianes du triangle AiBiCi parcourt le cercle (OK) du triangle ABC.
Le rapport de similitude des triangles AiBiCi, ABC est égal à celui des lignes homologues ûAi, QA; il a donc pour expression
[ sin(VH- X): sinV.
Il se réduit à coséc V ou cotV, lorsqu'on compare AqBoCo ou A2B2C2 à ABC.
2** Lorsque les droites a^ bu ^1 font avec AC, BA, CB un même angle X, elles forment iJig.2Ç)) un triangle A\BiCi semblable à ABC
ri-. 29.
et dont les sommets décrivent les circonférences adjointes (BA), (CB),
(AC). Soient a , ^\ y' les- centres de ces cercles; 0 est le point rétrograde de Brocard du triangle a'^'y'- Le centre permanent de similitude des triangles A\ B'^ G'i est le point direct de Brocard de chacun d'eux; leur point rétrograde de Brocard décrit la circonférence qui a pour centre 0 et pour rayon OU.
Deux triangles AiBiGi, A'j^B, G', (./%". 28 et 29), qui correspondent à la même valeur de X, sont égaux ^ et ont pour point double le centre 0 du cercle ABG.
En effet, les côtés homologues se coupent sur les médiatrices OA', OB', OG' de ABG et font un angle constant 2X; par conséquent, une rotation autour de 0 amène l'un des triangles sur l'autre.
55. Le cas {flg. 3o) où trois droites a^, bi, cx d'une figure semblablement variable tournent autour de trois points A, B, G situés en
Flg. 3o
ligne droite se traite de la même manière que le cas général. Les points Al, Bi, Gi se meuvent sur trois circonférences Oa, 0*, Oc passant par le point D, d'où l'on voit les longueurs AB, BG, GA sous des angles égaux à ceux du triangle AiBiGi ou à leurs suppléments; ce point est un métapôle du triangle aplati ABG et du triangle Ai BiGi. Les triangles DAiBi, DBiGi, DGiA, sont équiangles à DBA, DGB, DAG;
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLif. 4^9
donc le point D est fixe dans le plan AiBiCi, et la circonférence AiBiCi passe constamment par D. De plus, la ^droite ABC peut être placée de telle façon que les points A et Ai, BetBi, G et Ci se correspondent dans une transformation par rayons vecteurs réciproques, effectuée du pôle D ; par suite, D est un centre métaharmonique des triangles AiBiCi, ABC. Le triangle AiBiCi devient maximum quand ses côtés sont perpendiculaires à DA, DB, DC. Tout point de la figure variable décrit une circonférence passant par D. En particulier, le centre du cercle AiBiCi se meut sur la circonférence OaO/,Oc; car, si la tangente menée en A au cercle 0^ rencontre le cercle 0/, en p, le triangle C^A est une position particulière de AiBiCi et le point 0 se trouve en 0^, etc.
THÉORÈME
56. Si trois points Ai, Bi, Ci d'une figure semhlablement variable cpi parcourent les côtés BC, CA, AB d'un triangle donné k^O^ il existe un point F de cette figure qui reste fixe. Tout autre point décrit une droite {fi g. 3i).
fig. 3i.
Les circonférences ABiCi, BCiAi, CAiBi se coupent en un même
point F, métapôle des triangles AiBiGi, ABC. Ce point est donc fixe dans le plan AiBiCi ; il l'est ^également dans le plan ABC, car les angles FBG, FCB sont égaux à F Ci Ai, F Bi Ai. F est donc un centre permanent de similitude de cpi.
Menons FAo, FBo, FCo perpendiculaires sur BC, CA, AB. Le faisceau F(AoBoCo) peut être considéré comme étant la position initiale du faisceau F(AiBiCi). Le minimum du triangle AiBiCi est le triangle podaire de F par rapport à ABC, et le rapport de similitude de <pi et <po
FAi
est exprimé par ir-r- = séc X, X désignant AoFAi.
r Ao
Soient Mo, Mi des points homologues de ço? ^il les triangles FMqMi, FAo Al étant semblables, le lieu géométrique deMi est la perpendiculaire menée en M© sur la droite FMo.
SCOLIE
57. i** Si l'on fait tourner le faisceau F(AoBoCo) du même angle X dans un sens ou l'autre, ses rayons coupent les côtés de ABC aux sommets de deux triangles égaux. Donc la figure «pi, dans ses variations, passe deux fois par les mêmes états de grandeur.
2° On peut imaginer une seconde figure ©'j qui varie en restant symétriquement semblable à çi, avec la condition que les points homologues de Al, Bi, Cl parcourent également les droites BC, CA, AB. Le centre permanent de similitude de cp'j est le point /, tripolairement associé à F dans le triangle ABC. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que les inverses des aires des triangles podaires des points F, / ont une différence constante, égale à quatre fois l'inverse de l'aire ABC.
58. Soit F' l'inverse de F dans le triangle ABC, et soit Aq Bq Cq le triangle podaire de F'. Les triangles AqBoCo, A'oBoCo sont inscrits dans la même circonférence ayant pour centre le milieu Po du segment FF' (/V'. 3 1).
Faisons tourner les deux faisceaux F( AoBqCo), F'(Ao Bq Cq ) autour de leurs centres d'un même angle X, mais dans des sens contraires. Leurs rayons rencontrent BC, CA, AB aux sommets de deux triangles AiBiCi, AiB'iCi, qui sont respectivement semblables à AoBoCo, AoBoCq. SoitPi le centredelacirconférence AiBiiCi les triangles FPoPi et FAo Ai étant directement semblables, il en est de même des triangles F' Pc Pi et F'A'oA'i. Il résulte de là que les deux triangles AiBiCi, A'iB'iCi sont inscrits dans une même circonférence.
On peut donner deux autres modes de génération des groupes de six points, tels que AiBiCiA'iB'i C'i, situés sur le périmètre d'un triangle fixe ABC et appartenant 3 une même circonférence. Soit abc le triangle
formé par les droites BiC'^, CiA'i, AiB\, et soit a!V c' le triangle qui a pour côtés les droites B\Ci, G'i Ai, A\Bi. Les côtés des triangles abc, a' b'c' ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois droites fixes AE, BE, CE. En effet: i° Le quadrilatère BiCj A^Bi étanl inscrit, l'angle ABiC'i = (^\k\^\ ; donc les côtés du triangle abc font avec GA, AB, BC des angles égaux aux angles A'^, B'^, C'i du triangle A'i B'i C, , etc. 1° Les côtés du triangle CiB'^ a ont des directions fixes et deux sommets décrivent des droites; par suite, le point a se meut sur une droite passant par A. 3° Les côtés opposés de l'hexagone inscrit AiB'i BiA'i GiC, se coupent en trois points a, A, a' situés en ligne droite. 4° Enfin, les côtés opposés de l'hexagone inscrit AiA'iBiBiCiC'i se coupant sur une même droite, les côtés de rang pair et ceux de rang impair forment deux triangles ABG, abc qui ont un centre d'homologie. Cherchons les coordonnées normales x^ j, ^ de E dans le triangle ABC. Le rapport j ; z est égal à celui des perpendiculaires menées du point a sur AC et AB; d'où
«B\ sinAiB'iBi
«B\ sinAiCBi
" «Cl sinAiCiG'i ~
«Cl sinA'iBVC'i
Dans le triangle «GiBj,
«B'i sinAiCiB'i
sin A, C\ B'i
«Cl ~ sinAiB'iGi
~ sin Al Bi Cl
On déduit,
de
ces égalités,
cosécAi cosécA'i cosécBi cosécB'4 cosécCi cosécG ^
59. Examinons encore le cas {fig. 82) où trois points Ai, Bi, Ci d'une figure semblablement variable sont assujettis à se mouvoir sur trois
Fig. 32.
droites concourantes FA, FB, FC. Si l'on donne le point Ai sur FA et que la circonférence Ai Bi Cl rencontre les droites FA, FB, FG en «, 6, c,
on peut déterminer les points ^, c par la condition que les angles Ai^B, AicF soient égaux à AiCiBi, AiBiGi, et, par suite, décrire la circonférence hibc. Celte construction montre que les côtés du triangle AiBiCi se déplacent parallèlement à eux-mêmes, lorsque Ai se meut sur FA. F est donc un centre permanent d'honiothétie.
Il peut arriver que la circonférence AiBiCi passe par F. Alors toute circonférence passant par F rencontre FA, FB, FG en trois points qui sont les sommets d'un triangle de forme constante; et F n'est plus un centre permanent de similitude.
