SUR QUELQUES CERCLES REMARQUABLES

60. Les résultats des n"» 56, 57, 58 prennent une forme très simple, lorsque le triangle AiBiCi est directement semblable à BGA. Dans ce cas, F, F' sont les points de Brocard û, û'; le triangle A'^B'^Gi est semblable à CBA; le centre de l'a circonférence AiBiGi est situé sur la droite OK; les côtés du triangle abc sont parallèles à ceux de ABC; les côtés du triangle a'h' c' sont parallèles aux tangentes menées par A, B, C au cercle ABC; enfin, le centre d'homologie E des triangles ABC, abc, a'b'c' coïncide avec K.

Nous allons établir ces propriétés par une seconde méthode, qui a l'avantage de s'adapter aux polygones dits harmoniques.

PROBLÈME

61. Etant donné un triangle ABC, on propose d'en construire un second abc qui soit homothétique à ABC, et tel que les six points de rencontre des côtés non homologues des deux triangles soient situés sur une même circonférence (Jig. 33 ).

Soient a, en', p, [â', y, y' ces points. Les points y, P', p, y' appartenant à une même circonférence, -yp' est une transversale antiparallèle de l'angle BAC. Mais la figure Ay^P' est un parallélogramme; donc la droite Aa passe par le milieu de yP' et? par suite, est une symédiane de ABC. On conclut de là que le centre d'homothétie des triangles ABC, abc est le centre des symédianes de chacun d'eux.

Cette condition est suffisante. En eff'et, soient m, n, p les centres des parallélogrammes A-^a^', BccbY, C^ca', et soit w le centre du cercle mnp. Puisque les symédianes AK, BK, CK passent aux milieux des transversales p'y, T'a, a'p, celles-ci sont parallèles aux côtés du triangle KaKiKc formé par les tangentes au cercle ABC. Les angles AyP', By'ot sont égaux comme étant égaux à ACB; d'où

Par conséquent, les triangles rectangles uimy, oina, tap^ sont égaux, et w est le centre d'un cercle passant par les six points a, a', p, p', y, y'

Les triangles ABC, mnp étant homothétiques par rapport à K, w est situé sur la droite OK.

SCOLIE

62. l'LesdroitesY^', ay', pa'sontparallèlesauxcôtésdutriangleKaKôK* et divisent les droites KA, KB, KG en parties proportionnelles; elles forment donc un triangle a! b' c\ homothétique à KaK^Kc par rapport à K.

Fig. 33.

2" Do l'cgaliLo des arcs [î'y, y'a, a*p, on conclut aisément que les triangles Ya^, p'Y'a' sont égaux entre eux et semblables à ABC.

3° Soient 12, û'Ies points do Brocard du triangle ABC. Si l'on fait tourner le faisceau i2(ABG) autour de Q. d'un angle quelconque, ses rayons

rencontrent AB, BC, CA aux sommets d'un triangle ya^ semblable à ABC ; car les triangles QA-y, QBa, ûCp sont directement semblables, d'où l'on conclut la similitude des triangles 12 AB et Q'^a, ÛBC elQz'^, ûGA et Q^y- On voit que Q, et Û' sont les centres permanents de similitude des triangles variables Y^P, ^'y'a'delajig. 33.

4° Le lecteur trouvera facilement la démonstration des théorèmes suivants :

Soient P'y> T'^^' *'P ^^ow arcs égaux, de même sens, d'une circonférence. Les cordée ^'^^ y' a, a' ^forment un triangle àb'c'\ les cordes aa\ pp', yy'î ii^i second triangle ABC; les cordes Py'> T^'» «?'? "'ï if^oisième triangle abc. Ces trois triangles ont pour centre d'homologie commun le centre des sjmédianes des triangles ABC, abc.

On inscrit à une circonférence u) un hexagone aa'YY'P?' dont les côtés opposés sont parallèles. Le triangle formé par les côtés de rang impair et celui qui est déterminé par les côtés de rang pair, ont mêmes sjmédianes.

63. Si le triangle abc de \difig. 33 se réduit au point K, on a le théorème suivant :

Les parallèles aux côtés d'un triangle ABC, menées par le point K, coupent les côtés en six points a^ a', p, P', y, y' ^'"'^^ même circonférence ayant son centre au milieu de OK {^g- 34).

Les angles KaY, Ky^, K^a ont pour mesures les moitiés des arcs égaux P'y, a'p, y' a- Donc K est le point direct de Brocard du triangle apY; ^'^ ^^ ^ P^"^^ rétrograde de Brocard du triangle «'^'y'- L<^^

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. ^gj

cotés de ces triangles sont parallèles aux rayons des faisceaux Q(ABC)j Û'(ABG).

Les côtés homologues des triangles ABC, ^a^ et les rayons homologues des faisceaux Q(ABG), ûC^a^) font entre eux l'angle V; par suite, les triangles yAQ, aBO, [3CQ sont isocèles, et les points y, a, ^ sont à l'intersection de AB, BC, CA avec les perpendiculaires menées aux milieux des rayons ÛA, ÛB. OC.

Le rapport de similitude des triangles yap, ABC a pour expression

Ûy

sini^Ay sinV

sin^lyA sin2V acosV

64. Le triangle a' b' c' de la fig. 33 peut se réduire au point K; ce qui donne la proposition suivante : Les parallèles aux côtés du triangle ortliique de ABC, menées par le point K, rencontrent les côtés des angles BAC, CBA, ACB en six points a. ^ a\ p, P', Y' ï' d'une circonfé" rence ayant pour centre le point K {fig. 35).

Cette figure donne lieu à plusieurs remarques intéressantes.

A un triangle donné ABC, on peut inscrire deux triangles «Py, *'P'y' ciyt^nt leurs côtés perpendiculaires à ceux de ABC. Ces triangles sont inscrits dans une même circonférence ayant pour centre le point K.

Si un hexagone inscrit a^'^^'^a! a ses côtés oppose's égaux et parallèles, le centre de la circonférence circonscrite est le centre dek symédianes de chacun des triangles ABC, abc formés avec des côtég alternants de l'hexagone»

Q étant le centre de similitude des triangles ^a^, ABC, dont les côtés homologues sont perpendiculaires, les angles A ûy» B Qa, C Qp sont droits ; donc le rapport de similitude de ces triangles a pour expression

^ = tangV.

THÉORÈME

65. Soient Hi, H2, H3 les pieds des hauteurs du triangle ABC ; a\ b\ c' les milieux des droites H2H3, H3H1, H1H2; P' et y les projections de Hi sur AC et AB, y' ^t '^ celles de H2 sur BA et BC, a' et ^ celles de H3 sur CB et GA.

Cela posé :

1° Les six points a, a', p, [3', y, y' ^ont situés sur une même circonférence T.

7.° Les droites ^'y, y'"'' ^' ^ passent par deux des points a\ b\ c et ont pour longueur commune le demi-périmètre du triangle H1H2H3.

3° Le centre du cercle T est le centre du cercle inscrit au triangle a'b' c'\ il est situé au milieu de chacune des droites Hi A/^, HjB^, HsGa joignant les pieds des hauteurs de ABC aux orthocentres des triangles AH2H3, BH3H1, CH1H2 {fg. 36).

Nous rattachons cette proposition aux n°* 61 et 62.

On sait que les droites Aa', B b\ Ce' concourent au centre K des symédianes de ABC (N.,29). Par conséquent, le triangle a'b'c' est homolhétique à K^KôKc par rapport à K, et ses côtés rencontrent ceux de ABC en six points a, a', p, p', y» y' d'une môme circonférence, dont le centre T est situé sur la droite OK.

Le triangle c'P'H2 est isocèle, car

angle A^'y = AH2H3 = ABC = CHjHi; d'où

et l'angle H2P'Hi est droit. Ainsi, les points a, a', p, P', y, y' sont les pieds des hauteurs des triangles AH2H3, BH3II1, CII1H2. Nous venons de trouver

par analogie,

/yEz=c'a'.

Donc la droite P'y est égale au périmètre du triangle a'b'c'.

Les cordes égales P'y, y'°^» * P sont à égale distance du centre; donc T est le centre du cercle inscrit au triangle a'b'c.

Nous avons trois parallélogrammes A/iH3HH2, BaHsHIIi, C/iHiHHa; donc les côtés opposés de l'hexagone A/iHoC/iHiB^Ha sont égaux et parallèles, et les diagonales AAHi,B/iH2, C/1E3 se coupent mutuellement en parties égales. La droite «'T, bissectrice de l'angle c'a'b', est parallèle à llz^h et passe par le milieu de H2H3; donc elle passe égale-

ment par le milieu de H2C/i. On conclut de là que T est le milieu de chacune des droites A/Jli, B/1E2, C/tHs.

SCOLIE

66. 1° Les droites AAa, BBy^, CCa étant perpendiculaires à H2H3, H3H1, H1H2 concourent au centre 0 du cercle ABC. Les triangles A/iBfiChj H1H2H3 sont symétriques par rapport à T; donc leurs côtés homologues sont égaux et parallèles, et 0 est aussi l'orthocentre de A/iB/iCh. Soit h l'orthocentre de H1H2H3; ce point est le symétrique de 0 par rapport à T, donc il est situé sur la droite OK.

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( i" Partie.) 32

1° Les droites Py'» 7°^'' *P' forment un triangle abc homothôtique à ABC par rapport à K (N.,62), propriété qu'on peut démontrer directement.

La droite A^'K passe donc au milieu m de b'c'. Mais b'm est égal au demi-périmètre y m du triangle a'b'c' diminué de b'^ =a'c'; donc m est le point de contact de b'c' avec le cercle inscrit au triangle a'b'c'. Autrement dit, K est le point de Gergonne du triangle a'b'c'.

3° Les droites yHi, P'Hi étant perpendiculaires à a^', a^, la droite aEi est perpendiculaire à ^'y et H2H3. Donc les lignes «Hi, ÔH2, cHs sont les hauteurs du triangle H1H2H3; il est facile de voir que leur point de concours // est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle abc.

4° On sait que les triangles y»?» ABC sont semblables et ont môme point de Brocard û.

Leurs côtés homologues font un angle constant cp, que l'on peut calculer par la formule

tangçp = — (tangA-f- tangB 4- tangC) =— tangA tangB tangC.

Pour démontrer celle-ci, menons ap perpendiculaire à AB; nous aurons (Jîg. 36

n ap ap Ba yp Hia

tang<f = tangaYB=-:^, c£ = Ec' M, = W

D'où, en éliminant ap et yp,

CHs.Ba CH3 Ba aHj

tangcp =puis, en observant que

BHa.Hia BII3 alla Hia'

^' = tangB, If =tangBH2a = tangC, ^ = tangaHiHî= tangA,

on trouve la formule indiquée.

Soient p le rayon du cercle T et R celui du cercle ABC. Le triangle ayy' donne

aY'= 2p sincp.

Mais les quadrilatères OHjAHs, OH3BH1, OHiCIIj ont pour mesures -H2H3.AO, -HtHi.BO, -HiHj.CO; par suite, l'aire du triangle ABC est

S = ^R(Il2H3+n,H,-4-H,IIj) = R.aY'>

et comme on a

S o sinA sinB sinC

le rapport de similitude des triangles aPy» ABC a pour valeur

p sinAsinB sinC cosAcosBcosG

R ~ sincp ~ coscp

SUR LA GÉOMÉTRIE DU ÏRIANCtLE.

1. Les coordonnées normales absolues d'une droite vérifient la relation (N., d, 3)

que l'on peut mettre sous la forme

«2X2+ ^2jjt2 j c2v2— (Z/2-1- c2 — «2 ) [JLV

(c2-t- a2 ^2)vX — («2+ /;2 c2)X{Jl = 4 S2.

2. La perpendiculaire menée du centre 0 du cercle circonscrit à un triangle ABC, sur Taxe orthique (N., 7), a pour expression — j^^

3. Du centre 0 du cercle circonscrit au triangle ABC on abaisse des perpendiculaires sur les droites passant par les pieds des trois bissectrices extérieures ou par ceux de deux bissectrices intérieures. Ces perpendiculaires ont pour mesures

(«-^Vr^' («-'•"'VRTèr»

4. Le centre radical des trois cercles exinscrits à un triangle ABC coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle complémentaire de ABC. — Proposition analogue pour le centre radical du cercle inscrit à ABC, combiné avec deux cercles exinscrits.

5. Si deux triangles sont symétriques par rapport à un point, les transversales réciproques (N., 8) des côtés de l'un par rapport à l'autre triangle sont concourantes.

6. Une transversale m rencontre les côtés d'un triangle ABC aux points m,, wj, mg. Les isogonales (N., 9) des droites Ami, Bws, Cwrencontrent les côtés aux points m\, m\, m'^. Démontrer que i^à

points /w'i, m'j, m'g sont situés sur une droite m,-. Les droites m, w/ sont appelées transversales inverses.

7. Soient M, N, P trois points quelconques pris sur les côtés BG, CA, AB du triangle ABC. Démontrer la formule