MNP BM.CN.AP + MC.NA.PB ABC ~ AB.BC.CA
En conclure que i° si M', N', P' sont les isotomiques des points M, N, P, les triangles MNP, M'N'P' sont équivalents; 2* si ABCDEF est un hexagone dont les côtés opposés soient parallèles, les triangles ACE. BDF sont équivalents.
8. Calculer en fonction des côtes d'un triangle ABC : 1° l'aire du triangle orthique; 2° celle du triangle qui a pour sommets les pieds des trois bissectrices intérieures ; 3° celle du triangle qui a pour sommets les points de contact des côtés du triangle ABC avec le cercle inscrit.
9. Soit P un point quelconque du plan d'un triangle ABC, et soient H,, Ha, H3 les orthocentres (N., 5) des triangles BCP, CAP, ABP. Démontrer que les triangles ABC, H1H2H3 sont équivalents.
10. Soient a, p, y les points où les médianes m, m', m* du triangle ABC rencontrent la circonférence circonscrite. Démontrer que
ogY (m»+m'2-f-m'^2)3 ABC "~ 27m2m'2m"2
11. Trois droites menées par les sommets d'un triangle ABC* et par un même point P rencontrent les côtés aux points A', B', C. On les prolonge, dans les deux sens, des quantités
A'a = Aa'= AA', B'p = BP'= BB', C'y = Cy'= CC.
Démontrer que
a^Y = 4A'B'C'-4- 3 ABC, a'p'Y'= A'B'C'-h 6ABC.
12. Sur les côtés du triangle ABC, on construit, vers l'extérieur, les carrés BCDË, CAFK, ABLM; soient a;, j, z les centres de ces carrés, et soient X, Y, Z les quatrièmes sommets des parallélogrammes construits sur AF et AM, BL et BE, CD et CK. Démontrer les propriétés suivantes :
1° Les droites FM, LE, DK sont égales et perpendiculaires aux médianes de ABC.
QUESTIOiNS PROPO.SÉES. 5o3
•>° Les droites AX, BY, CZ sont égales et perpendiculaires aux côtés de ABC.
3" Les droites Ax, Bj, Gz sont égales et perpendiculaires aux côtés du triangle xjz.
4° Les milieux des côtés du triangle ABC sont les centres des carrés construits intérieurement sur les côtés du triangle xyz.
5° Les points x^ j, z sont les milieux des côtés du triangle XYZ.
6° Les triangles ABC, xjz, XYZ, EKM, DFL ont mêmp ^^entre de gravité.
7° Les quadrilatères BCFM, FKBL, MLCK sont équivalcnv/i au carré construit suv yz.
8" L'hexagone EDKFMLE a pour mesure chacune des sommes
BG -h lyz , CA -\-izx . AB -+- ixj .
9" Les droites A^, BF, CM, KL concourent en un même point.
10° Les quadrilatères EDFM, KFLE, MLDK sont égaux à quatre fois le triangle xjz.
13. Les notations étant celles de l'exercice précédent, on demande de construire le triangle ABC, connaissant :
1° Les points ^, j, z\
2° Les points X, Y, Z;
3° Le triangle formé par les droites DE, KF, ML suffisamment prolongées ;
4" Le triangle formé par les droites FM, LE, DK suffisamment prolongées.
14. Par un point P, pris dans le plan d'un triangle ABC, on mène une parallèle à BC, rencontrant CA en p, AB en y'; une parallèle à CA, rencontrant AB en y, BG en a'; enfin, une parallèle à AB, rencontrant BC en a, CA en p'. Démontrer :
!*• Que
aa
W , ïy'
2° Que les triangles a^Y' ^^'P'ï' sont maximums, lorsque P est le centre de gravité de ABC ;
— 2 — 2 — 2 3° Que la somme aa' h- pj3' + yy' est minimum, lorsque
<7.aa'= h.^^' = c.yy'; les coordonnées barycentriques (N., 2) de P sont alors
5o4 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
15. Les notations étant celles de l'exercice précédent, démontrer : \° Que
Pa PS Pv Pa' PS' Pv' c a b b c a
2° Que la somme Pa -+'Pp +Py est minimum, lorsque P est le point de Brocard û.
16. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point Ji tel que, si l'on mène les droites Jiai, Ji(3i, Ji^i parallèles à AB, BG, CA et rencontrant en ai, Pi, Yi les côtés BC, GA, AB, on ait
Jiai = JiPi = JiYi-
De même, déterminer un point J2 tel, que les droites ^^ol^, ^i^^, J2Y2 parallèles à GA, AB, BG et limitées à BG, GA, AB, soient égales entre elles.
Les coordonnées norrriales des points Ji, J2 sont
\rl'~a)' V^^'^)'
l'inverse de Jioti et J2a2 est égal à la somme des inverses de «, ^, c\ l'orthocentre de l'un des triangles ai^iYi, a2P2Y2 est le centre du cercle circonscrit à l'autre; enfin, ces deux triangles ont même cercle des neuf points.
17. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point J tel, que les parallèles menées par ce point aux côtés de ABG et terminées aux autres côtés soient égales.
Démontrer que l'inverse de l'une de ces parallèles égale la demisomme des inverses des côtés de ABG, et que J est le complémentaire du réciproque du centre du cercle inscrit au triangle ABG.
Les associés harmoniques des points J, Ji, J2 (voir l'énoncé précédent) jouissent de propriétés analogues.
18. Soient AM, AN deux droites symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle A du triangle ABG; soient M, N leurs points de rencontre avec BG, et M', N' leurs points de rencontre avec la circonférence ABG. On a
