AK
AA', A/ci =
20. Dans tout triangle, au plus grand côté est opposée la plus petite symédiane, et réciproquement. Un triangle est isocèle, si deux syméiianes sont égalas.
21. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit les triangles directement semblables A'BC, B'CA, C'AB. Démontrer que les droites AA', BB', ce sont égales et parallèles aux côtés d'un même triangle.
22. Soient M, N, P trois points pris sur les côtés du triangle ABC ; soient M', N', P' leurs isotomiques. Démoritrer que les centres de gravité des triangles MNP, M'N'P' sont symétriques par rapport au centre do gravité de ABC.
23. Soient A', B', C des points divisant les côtés BC, CA, AB du triangle ABC dans le môme rapport/? : q.
1° Les triangles A'B'C, ABC ont même centre de gravité.
2** Les droites AA', BB', CC sont égales et parallèles aux côtés d'un même triangle A"B"C".
3° Si a, è, c, «', b\ c', S, S' sont les côtés et les aires des triangles ABC, A'B'C", on a
■pq -\- q^
ip-^qy-
4° Soient A'", B'", C" les intersections mutuelles des droites AA', BB', CC; on a
Air
AC
YÇF' ~ p"^' a' ~ p-' + pq-^ A'"B'"C"' {q—pY
ABC p^-{-pq-^q^
5' Les triangles ABC, A'B'C, A"B"C" ont même angle de Brocard.
24. Le centre des symédianes d'un triangle ABC et le centre du cercle circonscrit sont des points réciproques par rapport au triangle complémentaire de ABC.
Le réciproque de l'orthocentre de ABC est l'anticomplémentaire du centre des symédianes.
25. Soient G, H le centre de gravité et l'orthocentre du triangle ABC
5o6 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLK.
et soient ai, Pi, yi? «2» Pa» T2 les points de rencontre des hauteurs et des médianes de ABC avec la circonférence décrite sur GH coinme diamètre. Démontrer que :
1° Le triangle aiP,Yi est inversement semblable à ABC, et que le triangle a.^ P2 Y2 est inversement semblable au triangle podaire du centre K des symédianes de ABC.
1" Les droites aiag, ^1^21 Y1T2 sont les symédianes des triangles «1 PiYi' «2P2Y2 et se coupent en K.
26. Les tangentes menées par les sommets d'un* triangle ABC au cercle circonscrit formant le triangle KaK^Kc :
1° Les coordonnées normales absolues de K» sont «tangA,
-h tangA, - tangA.
2° Ka et ses projections sur les côtés de ABC sont les sommets d'un parallélogramme.
3° Les droites joignant Ka, Ko, Kc aux pieds Hi, 112, H3 des hauteurs de ABC se coupent en un point de la droite OH, qui est l'inverse de l'anticomplémentaire de K.
4° Les droites joignant A, B, G aux milieux des segments OKa, OK^, OKc concourent au point inverse du centre du cercle des neuf points de ABC.
5° Le centre du cercle circonscrit au triangle KaK^Kc est sur la droite OH.
27. Parmi les triangles inscrits à ABC, celui dont la somme des carrés des côtés est minimum a pour sommets les projections de K sur BC, CA, AB.
28. Soient I le centre du cercle inscrit (r) au triangle ABC; a, p, y
les points de contact de ce cercle avec les côtés de ABC; Ole centre du
cercle ABC de rayon R; G' le centre de gravité du triangle a^y- Dé-
01 r montrer que G' est sur la droite 01, que IG'= -^ et que la polaire
de G' par rapport au cercle I passe par les pieds des bissectrices extérieures du triangle ABC.
29. Sur les côtés BA, CA d'un triangle ABC. on prend les longueurs BD = CE = B^^. Démontrer que la droite joignant les centres 0, I du cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle ABC est perpendiculaire à la droite DE et égale au diamètre du cercle circonscrit au triangle ADE.
Quel est le théorème analogue sur les cercles exinscrits?
QUESTIONS PROPOSÉES. So;
30. Si la droite OK du triangle ABC est parallèle à BC, on a les propriétés suivantes :
