Si a^= -(b^-hci
1° Le triangle podaire XYZ de K est semblable à ACB; 2° La circonférence AB'C passe par G; les circonférences AGB, AGG touchent le côté BC ; la circonférence BGC passe par H ; 3° OK est perpendiculaire à AK, GK est parallèle à BC ;
4*'ÂK^ = BK.CK, 2ÂH^=BhVcH^;
5° Le triangle podaire de G est isocèle;
6° Le cercle qui passe par A et les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de l'angle ABC passe par G;
7° Lorsque deux sommets du triangle ABC restent fixes, le troisième décrit une circonférence.
34. Soient X, Y, Z les projections du centre de gravité G du triangle ABC sur les côtés BC, CA, AB. La droite G^ rencontre CA en Xi, AB en Xj; la droite GY coupe AB en Yi, BC en Y2; enfin, la droite GZ
5o8 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
coupe BC en Zi, CA en Zj. Démontrer les formules
XiyiZ,= X2Y2Z2=-^__^,^^,^^,^^^,^2+^2X«2+è2 e2)^'-
35. Soient Ai, Bi, Ci les projections du centre K des symédianes du triangle ABC sur les perpendiculaires élevées aux milieux des côlcs. Soit D le point de concours des droites AAi, BBi, CGi. Démontrer que les droites joignant les milieux des côtés homologues des triangles ABC, AiBiCi concourent en un même point S, qui est, à la fois, le complémentaire de D, le milieu de la distance Qû' et l'inverse du pôle de la corde Q.Q! du cercle (OK).
36. H étant l'orthocentre du triangle ABC, on porte, sur les droites HA, HB, HC, des longueurs HA', HB', HC égales aux hauteurs correspondantes de ABC. Les parallèles menées par A', B', C aux côtés BC, CA, AB forment un nouveau triangle A"B"C". Démontrer que H est le centre de gravité de A"B"C", et que le centre d'homothétie des triangles ABC, A"B"G"' est le centre du cercle des neuf points de chacun d'eux.
37. A un triangle donné ABC, on circonscrit deux triangles AiBiCi et A2B2C2, semblables à un triangle donné a^y, et ayant leurs côtés homologues perpendiculaires entre eux. Démontrer que la somme des aires des triangles AiBiCi, A2B2C2 est constante.
38. On mène, par les sommets d'un triangle ABC, des droites faisant un même angle X, dans le même sens, avec les côtés opposés ; soit A'B'C le triangle formé par ces droites. On demande de démontrer que :
1° Le centre du cercle circonscrit à A'B'C est l'orthocentre de ABC, a° Les projections de BC, CA, AB sur B'C C'A', A'B' sont égales
3° Il existe une valeur de X telle, que le triangle A'B'C soit égal
àABC.
39. Étant donnés les sommets B, C d'un triangle ABC et la symédiane indéfinie BK, le sommet A décrit une circonférence.
40. Construire un triangle ABC, connaissant : I** Les longueurs AB, AG, AKi ;
2° Les longueurs BC, AA', AKi; 3" Les points B, C, K; 4* Les points B, C, 12;
QUESTIONS PROPOSÉES. Sog
5° Les points A, G, K; 6" Les points A, 0, K ; 7" Les points A, 0, 12.
|H| 41. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA', OB', 0G> ^^^ égales aux côtés d'un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M,
XB'N, XG'P, respectivement égaux aux moitiés des angles opposés. de
ABC. Démontrer que :
1^^—^ 1° Les droites A' M, B'N, C'P se rencontrent en un môme point T; ^B 1° Les longueurs A'T, B'T, G'T sont égales aux distances AI, BI, CI, I désignant le centre du cercle inscrit à ABC;
3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est égale au rayon de ce cercle ;
1^^^ 4° OQ est égale au demi-périmètre de ABC. :^" 42. On construit trois angles XOA', XOB', XOC égaux aux angles A, B, C d'un triangle ABC, et l'on prend 0A'= BC, 0B'= CA, 0C'= AB. Démontrer que :
1° Les points 0, A', B', C sont situés sur une circonférence égale à la circonférence ABC ;
2" Les côtés du triangle A'B'C sont doubles des distances comprises entre les milieux des côtés de ABC et les pieds des hauteurs correspondantes ; 3° Les distances de 0 aux points de rencontre de OX avec B'C, C'A',
, - , bc ca ab A B sont égales a — ? -r ? — ;
■ ° abc
4'' La droite joignant 0 au centre de gravité du triangle À'B'C fait
avec OX un angle égal à V, V étant l'angle de Brocard de ABC.
^V 43. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA', OB', OC proportionnelles aux carrés des côtés d'un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M, XB'N, XC'P égaux aux angles opposés A, B, C. Démontrer que :
1° Les droites A' M, B'N, C'P se rencontrent en un même point T;
2° Les longueurs A'T, B'T, C'T sont proportionnelles aux rectangles bc^ ca^ ab des côtés;
3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est proportionnelle au double de l'aire ABC ;
4** OQ est proportionnelle à -(«2+ ^2| ^2);
5° OT est proportionnelle à \Ja'^b'^-\- b"^ c^ ->r c"^ a^ \
6° L'angle XOT est égal à l'angle V de Brocard du triangle ABC.
5lO GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
44. Soient A, B, G, D quatre points d'une circonférence. Démontrer que les centres des cercles inscrits aux triangles ABC. AGD, BCD, ABD sont les sommets d'un rectangle. Considérer également les centres des cercles exinscrits. '
45. Une transversale m coupe les côtés d'un triangle ABC aux points jwi, m^, mz] les perpendiculaires élevées en ces points sur les côtés correspondants de ABC forment un nouveau triangle A'B'C Démontrer que :
1° Les droites AA', BB', CC se coupent en un même point M, commun aux deux circonférences ABC, A'B'C;
2° Ces circonférences sont orthogonales (383);
3° Les droites de Simson (169, ii°) de M par rapport aux triangles ABC, A'B'C sont parallèles à m\
4° Les points A', B', C parcourent des circonférences, lorsque m se déplace de manière que l'aire du triangle A'B'C soit constante.
46. Soient AHi, BH2, CH3 les hauteurs du triangle ABC, et H leur point de concours; A', B', C les milieux de BC, CA, AB; A", B", C" les milieux des segments AH, BH, CH; A'", B'", C" les milieux de HjPIa, H3H1, H1H2. Démontrer que :
1° Les droites de Simson des sommets de l'un des triangles H1H2H3, A'B'C par rapport à l'autre triangle, concourent au centre T du cercle inscrit au triangle A"'B"'C"';
T."" Les droites de Simson des points A", B", C par rapport au triangle A'B'C, forment un triangle qui est homologique avec le triangle ABC par rapport au centre de gravité du triangle H1II2H3 et qui a pour orthocentre le point T.
47. Soient 0, I les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit à un triangle ABC; KaK^Kc le triangle que forment les tangentes menées en A, B, C au cercle 0; a, p, y les centres des cercles inscrits dans les triangles K^BC, K^CA, K^AB; enfin, a'p'y'le triangle formé par les cordes communes aux cercles 0 et a, 0 et p, 0 et y- Démontrer que :
1° Les diagonales de l'hexagone formé par les côtés des triangles ABC, a^Y sont parallèles aux côtés de ABC, passent par I et touchent, chacune, deux des cercles a, 8, y;
a" Le centre radical des cercles a, p, y coïncide avec le centre du :ercle inscrit au triangle «'^'y';
S*" Les droites Aa', B^', Cy' se coupent en un même point dont les coordonnées normales sont a^, ^2, c^.
48. Soit A'B'C le triangle formé par les symétriques d'une droite m
QUESTIONS PROPOSEES. 5l,
^âr rapport aux trois côtés d'un triangle donné ABC. Démontrer que :
1° Le triangle A'B'C est de forme constante;
2° Le centre du cercle inscrit à A'B'C (d'un cercle exinscrit, lorsque le triangle ABC est obtusangle) est sur la circonférence ABC;
3° Quand la droite m se déplace parallèlement à elle-même, les points A', B', C décrivent des droites;
4" Quand la droite m roule sur une circonférence ayant pour contre l'orthocentre du triangle ABC, l'aire A'B'C reste invariable.
49. Un triangle ABC étant inscrit dans un cercle S, on considère sur la circonférence deux points P et P'. Les projections de ces points sur les côtés du triangle sont situés sur deux droites qui se coupent en M. Cela posé :
i* Démontrer que ce point M décrit une circonférence S' quand le sommet C se meut sr.r le cercle S, les points A, B, P, P' restant fixes;
2* Trouver le Heu des centres des cercles S' lorsque les points P et P' se déplacent sur la circonférence S, de façon que l'arc PP' ait une longueur constante. {Agrégation^ i^'^^.)
50. Un triangle ABC tourne autour d'un point fixe X de son plan. Soient A', B', C les intersections des côtés homologues dans deux positions quelconques du triangle. Démontrer que le quadrilatère X A'B'C est toujours semblable à lui-même.
Commfoiit faut-il choisir le point X pour qu'il soit le centre du cercle circonscrit ou inscrit au triangle A'B'C, ou l'orthocentre de A'B'C, ou son centre de gravité?
51. On considère les cercles exinscrits à un triangle ABC et l'on joint les points de contact de ces cercles avec les deux côtés qui ont été prolongés ; on forme ainsi un nouveau triangle A'B'C.
Soient 0, I, la, I^, le les centres, et R, r, r^, r^, rc les rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits à ABC. Démontrer que :
1° Les côtés des triangles A'B'C, laUIc se coupent, deux à deux, aux pieds des hauteurs des triangles laBC, I^CA, IcAB ;
2° Les droites AA', BB', CC sont les hauteurs de ABC, et leur point de concours H est le centre du cercle circonscrit à A'B'C;
3° AA'=/'a, BB' = r6, CC = r^, HA' = 2R h- r = — ''^ "^ ''^ "^ ''^
4° Les droites A'Ia, B'I^, C'Ic sont les symédianes des deux triangles A'B'C, lal^Ic 0).
(») Les propriétés de cette figure ont fait l'objet du concours d'agrégation en 1873.
5l2 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
52. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement les triangles A'BC, AB'G, ABC semblables à un triangle donné a^y; de même, on construit extérieurement les triangles A'B'G', A'B"G', A'B'G semblables à a^y- Démontrer que :
1° Les circonférences circonscrites aux six triangles A'BC, ... A^B'G', . . . passent par un même point ;
2° Les points A, A', A", 0 sont en ligne droite et AA'= AA";
3° Les droites BG' et B'C, GA' et G' A, AB' et A'B se coupent en trois nouveaux points A'", B'", G'" tels, que les droites AA'", BB'", GG'" concourent en un même point 0';
4' Les droites A' A'", B'B'", G'G'", 00' sont parallèles entre elles.
53. Étant donné un triangle ABG, on peut construire sur BC, du même côté que ABG, cinq triangles BGAi, GAgB, GBA3, A^GB, BA5G semblables à ABG. Démontrer que les six points A, A,, As, A3, A^, A5 sont sur une même circonférence, et que les triangles AA1A2, A4A5A3 sont semblables à ABG.
54. Sur le côté BG d'un triangle ABG, on construit tous les triangles ayant même angle de Brocard V que le triangle ABC. Le lieu des sommets est une circonférence, dont le centre Na est situé sur la perpendiculaire menée au milieu de BG; l'angle BNaG = 2V, et les tangentes menées de B et G à cette circonférence sont égales à BG.
55. Trois points Ai, Bi, Gi se meuvent sur les côtés BG, GA, AB d'un triangle ABG, de manière que le triangle AiBiCi soit toujours semblable à ABG. Soient A', ,BV, C\ les seconds points de rencontre des côtés de ABG avec la circonférence AiBiGi.
Démontrer les théorèmes suivants :
i*" Les triangles AiBiGi ont pour centre permanent de similitude le centre 0 du cercle ABG ; les triangles A'^ B'^ G'^ sont semblables au triangle orthique de ABG et ont pour centre permanent de similitude l'orthocentre H du triangle ABG.
2° Les droites BiGj, GiA',, AiBj forment un triangle abc, et les droites Bj Gi, G'i Ai, A\Bi forment un triangle a'b'c'; les côtés de ces triangles ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois droites fixes AE, BE, GE passant par le réciproque de 0 par rapport au triangle ABG.
3° Les orthocentres des triangles ABiGr, BGiAi, GAiBi sont à l'intersection de la circonférence AiBiGi avec les perpendiculaires menées aux milieux des droites HA, HB, HG ; ces points sont, en même temps, les centres des cercles circonscrits aux triangles ABjCi, BG'jA'i, GA'iB',.
Les deux triangles AiBiGi, A'^B'^Gi peuvent être homologiques par
QUESTIONS PROPOSÉES. 5x3
rapport au point E : les droites AAj, BB\, CC, ont alors des direclionb )nnues; quel est le rapport de similitude de AiBiCi, ABC?
56. Les bissectrices intérieures du triangle ABC rencontrent la circonférence circonscrite aux points A',B', G'; celles du triangle A'B'C rencontrent la circonférence aux points A", B", G" ; et ainsi de suite.
Démontrer que les triangles ainsi obtenus ont pour limites deux triangles équilaléraux symétriques par rapport au centre du cercle ABC.
R. et DE G. — Tr. de Géom. (1" Partie).
KOTE IV. — SUR LA GÉOMÉTROGRAPIIIE.
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SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE
(Art des constructions géométriques).
La Gcométrographie a un quadruple objet :
a. Au moyen de certaines conventions, elle donne, pour une construction quelconque exécutée, un symbole qui est une sorte de mesure de sa simplicité et des chances de sa plus ou moins grande exactitude.
b. Elle conduit aux procédés pour effectuer, le plus simplement possible, une construction déterminée indiquée par la Géométrie.
c. Elle discute, quand il y a lieu, une construction dont le principe est donné, pour y substituer une construction plus simple qui peut arriver à différer tout à fait de la première indication.
d. Elle permet de comparer entre elles toutes les constructions que l'on connaît d'un même problème et de choisir parmi celles-là la plus simple que l'on appelle la construction gêométrographique du problème, jusqu'à ce qu'on en ait trouvé une plus simple, s'il y en a, qui devient alors la construction gêométrographique de ce problème.
La Géométrographie a un côté tout spéculatif, parce que les hypothèses qu'elle fait doivent s'écarter de la réalité pratique. Voici ces hypothèses : La Géométrographie suppose que la feuille du dessin est aussi grande qu'il est nécessaire à l'exécution intégrale de la construction ; elle suppose que les instruments dont on se sert : compas, règle (et équerre, lorsque son usage est admis) sont aussi petits ou aussi grands que le demande le tracé; elle suppose qu'un point est également bien déterminé quel que soit l'angle sous lequel se coupent les lignes qui le placent; elle suppose l'existence matérielle du point et de la ligne.
La Géométrographie guide donc le traceur d'une façon analogue à celle dont la Mécanique rationnelle guide l'ingénieur, mais de beaucoup plus près.
A moins que le contraire ne soit particulièrement spécifié, l'évaluation gêométrographique d'une construction doit se faire avec un seul
5l6 NOTE IV.
compas et, lorsqu'un cercle se trouve Iracc comme donnée, on suppose que son centre est place.
Lorsque les données ne sont pas données en position, mais seulement en grandeur, on convient de ne pas exécuter l'épure sur elles. Voici un exemple des deux cas qui se présentent : pour diviser une droite donnée AB, en moyenne et extrême raison, je ferai évidemment l'épure sur AB; mais, pour construire un triangle ABC, connaissant un côté BG, l'angle opposé BAC et la somme des deux autres côtés AB+AC, je supposerai que j'ai sur l'épure, à l'origine, une longueur égale àBC, un angle égal à BAC et une longueur égale à AB -h AC, mais je no construirai le triangle ABC sur aucune des données.
