X. Construire un angle de 60° {ou de

{Construction géométrographique.) — Je trace un cercle 0(p) de centre quelconque 0, et de rayon quelconque p, (G3); A étant un point quelconque de ce cercle, je trace A(p) qui coupe 0(p) en B (G24-G3), je trace OA, OB (4 Ri -h 2R2), les droites OA et OB font entre elles les angles demandés;

op. : (4R1 + 2R2+G2+2G3);

simplicité : 9; exactitude : 5; 2 droites, 2 cercles.

XT. Tracer un cercle passant par deux points A et B. [Construction géométrographique.) — p étant quelconque, je trace

A(p), B(p) qui se coupent en C(2Ci-}- 2C3). Je trace C(p) (Ci-+- C3) : c'est le cercle cherché ;

op. : (3Gi4-3C3); simplicité : 6; exactitude : 3; 3 cercles.

XII. Placer le centre 0 d'un cercle tracé, si le centre n'est pas marqué.

{Construction géométrographique .) — A, B, G étant trois points arbitraires du cercle, je trace A(p), B(p), C(p), p étant quelconque, mais tel que ces trois cercles se coupent (3C2-i-3C3). Je trace les intersections de A(p), B(p) et de B(p), G(p) (4Ri4-2R2); ces deux droites se coupent en 0, centre cherché;

op. : (4Ri+2R2-f-3C2-f-3G3); simplicité : 12; exactitude : 7; 2 droites, 3 cercles.

Remarquons que la distance OA, qu'il n'y a pas besoin de tracer, est le rayon du cercle; il est obtenu en môme temps que le centre, donc par le même symbole, mais ce n'est pas la construction géométrographique du rayon dont la simplicité est 7 {voir XUI).

XIII. Trouver le rayon d'un cercle tracé dont le centre n'est pas placé.

{Construction géométrographique) {fg. i). — D'un point P quelconque du cercle tracé comme centre, je trace P(p) (C2-t-G3) qui

coupe le cercle en A et en B, je trace B(p) (Gi-i- C3) qui coupe P(p) en G à l'intérieur du cercle donné. Je trace AG (aRi + Rj), qui coupe le cercle donné en D; CD (ou DB) est le rayon cherché;

op. : (îRi-hRa+Gi + Ga-H-iGa); simplicité : 7; exactitude : 4; ï droilc, 2 cercles

SLR LA GÉOMÉTROGRAPHIE.

Pour trouver le centre 0 du cercle, il suffit de tracer D(DG) (2G1-1- C3); B(DC) (Ci-f- C3) qui s'y coupent;

op. : (sRi + Ra-h 4GiH- Co-i- 4C3); simplicité : 12; exaclilude : 7; i droite, 4 cercles.

'est une seconde construction géométrograp/iique du Problème XII. Pour démontrer que CD = BD égale le rayon du cercle donné, il suffit de remarquer que le triangle CPB serait équilatéral; l'angle CAB qui a pour mesure ^CB est donc de Se"; dans le cercle donné, cet angle a pour mesure |BD, donc arcBD = 60", et sa corde DB est égale au rayon; DP serait la bissectrice de l'angle BDA, puisque

arcBP = arcPA.

Donc DG = DB égale le rayon.

XIV. Par un point donne B sur une droite BG, tracer une seconde droite qui fasse avec îa première un angle égal à un angle donné DAE.

{Construction géométrographique.) —Je trace, p étant quelconque, A(p) qui coupe AD en D, AE en E (G1+G3), je trace B(p) (Gi-f-Gs), qui coupe BG en G; je prends DE dans le compas et je trace G (DE) (SGi + Gs), qui coupe B(p) en F, je trace BF (2Ri-hR2): c'est la droite cherchée ;

op. : (2Ri-+-R2-h5G,4-3G3); simplicité : ii; exactitude : 7; i droite, 3 cercles.

XV. Étant donnés trois points A, B, G, placer le symétrique G' de G par rapport à la droite qui joindrait A e^ B.

{Construction géométrographique.) — Je trace A(AG), B(BG) qui so coupent au point G' cherché;

op. :(4Ci+2C3); simplicité : 6; exactitude : 4; 2 cercles.

XVI. D'un point G pris hors d'une droite AB,/ibaisser une perpendi' culaire sur cette droite {\ o'ir Jig. ii4, p. 94).

{Construction géométrographique.)

op. : (2Ri-i-R2-H3Ci4-3C3); simplicité : 9; exactitude : 5; i droite, 3 cercles.

{Construction géométrographique avec l'équerre.) — Je mets un certain côté de l'angle droit do l'équerre en coïncidence avec AB (2 11'^);

la règle étant alors plaquée sur l'Iiypoténusc de Féquerre, je fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit de l'équerre passe en C op.: (E), je trace une droite le long de ce côté, op.: (R2);

op. : (ïR'i + lU-hE); simplicité : 4; exactitude : 3; i droite.

XVII. Par un point C, pris sur une droite AB, élever une perpendiculaire sur cette droite (voir fig. 11 3, p. 94). Le symbole, de cette construction est

op.:(2R,-+-R2+3Ci + 3C3); simplicité : 9; exactitude, 6; r droite, 3 cercles.

(Construction géométrograplnque) (voir fi g. 91, p. 95). — La construction qui est indiquée page 93, n° 156, comme devant être employée lorsque le point par 011 il faut élever une perpendiculaire siir la droite est à l'extrémité de celle-ci, est préférable à la construction donnée comme construction générale; car elle a pour symbole

op.:(4Ri + 2R2 + Gi + C3); simplicité: 8; exactitude, 5; 2 droites, i cercle.

XVIIL Mener une perpendiculaire sur une droite en son milieu {No'wfig. 109, p. 92).

op.:(2Ri-l-R2-f-2Ci + 2C3); simplicité: 7; exactitude: 4; i droite, 2 cercles.