XIX. Par un point A mener une parallèle à une droite BC
La construction classique, séculaire pour ainsi dire, donnée page 90, fig. 106, a pour symbole
op.:(2Rx+R2"-+-5Ci-+-3C3); simplicité: 11; exactitude: 7; i droite, 3 cercles.
Elle peut être notablement réduite, comme le montrent les deux constructions géométrographiques qui suivent :
Première construction géométrographique {fig. loC)'''"-^). — Je trace A(p)(CiH- C3), p étant quelconque mais assez grand pour couper BC en B, je trace B(p)(Gi + C3) qui coupe BC en C, puis C(p) (d-l- C3) qui coupe A(p) déjà tracé en D. Je tire AD (2 Ri -h R2), c'est la parallèle cherchée, puisque la figure ACBD serait un losange.
SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 52"3
op.:(2Ri-hR2+3Ci + 3C3); simplicité : 9; exactitude 5; i droite, 3 cercles;
La construction ne comporte aucune ambiguïté, il y en a une possible dans la construction classique, puisque (/%•. 106, p. 90) le cercle
Fig. io6^»»
JC
C(AB) y coupe le cercle A(AG) en deux points. Ce défaut est, d'ailleurs, pratiquement, sans aucune importance.
Seconde construction géométrographique {fig. 106''^^). — Je trace, 0 étant arbitraire, un cercle 0(0A) (GiH- C3) qui coupe BG en B et
Fig. loG'^'-.
en G, je décris le cercle G(BA)(3Gi-i- G3) qui coupe 0(0A) en D du même côté de BG que A, je trace AD(2Ri-hRa) qui est la parallèle cherchée.
op.: (2Ri-i-R2H- 4G1 + 2C3);
simplicité : 9; exactitude : 6; i droite, 1 cercles.
Dans la première des deux constructions géométrographiques la simplification, qui est de deux opérations élémentaires, ne porte que sur les opérations de préparation, c'est-à-dire sur le coefficient d'exactitude; dans la seconde, elle porte, pour une unité sur le coefficient d'exactitude et pour une unité sur les opérations de tracé; elle comporte, en effet, un cercle de moins à tracer que dans la construction classique enseignée partout jusqu'ici dans tous les Traités de Géométrie en France. Il y a des pays où la construction classique est autre : en
Russie, en Italie, par exemple. La voici {JI^, i) : Par A, je mène une droite quelconque qui coupe en G la droite nC(Ri-+- lU) ei je fais en A
Fi;
avec AC un angle GAD = ACB ('2Ri-j- Rs-h 5Ci-i- 3C3); ces deux angles occupent les positions d'alternes internes.
op. : (3 Ri -{- 2R2 -^ 5 Cl -4- 3 C3) ; simplicité : i3; exactitude : 8; 2 droites, 3 cercles.
Quoique plus simple à énoncer que la construction classique française, elle est plus compliquée qu'elle de deux opérations élémentaires, dont le tracé d'une droite, et plus compliquée de quatre opérations que les tracés géométrographiques.
Il faut bien se mettre dans l'esprit, d'ailleurs, que si l'on considère deux constructions différentes d'un même problème, dérivant de deux solutions différentes de ce problème, il n'y a aucune raison de déduire de ce que l'une serait beaucoup plus simple à démontrer et à énoncer que l'autre, pour le géomètre, qu elle sera la plus simple à construire; c'est, souvent, la plus compliquée. Ajoutons que celle qui était la meilleure pour le géomètre doit le rester cependant encore pour lui, quelle que soit sa complexité géométrographique; il se place à un point de vue tout autre que le constructeur, dont le point de vue spécial n'avait jamais été étudié systématiquement, ni même signalé comme distinct; c'est lui qui a constitué la Géométrographie.
XX. Placer le quatrième sommet D d'un parallélogramme ABCD, les trois sommets A, B, G étant placés; AD et BG devant être parallèles et de même sens.
{Construction géométrographique.) — Je prends BG dans le compas et je trace A(BG)(3Gi -h G3); la pointe étant alors en A, je prends AB(Gi) et je trace G(AB) qui coupe A(BG) en D du côté opposé de AG
queB(Gi4-G3).
op.:(5Gi-h2C3);
simplicité : 7 ; exactitude : 5 ; 2 cercles.
SUR LA GÉOMÉTROGRArilIE.
XXI. Mener par A une parallèle AD ù une droite non tracée mais déterminée par deux de ses points B e? C.
(Construction géométrograpliique.) — Je place D comme dans la construction XX et je trace AD(2Ri-hR2).
op.: (2Ri-hR2-{-5Gi-i-2C3); simplicité: lo; exactitude: 7; i droite, 2 cercles.
XX IT. Diviser en deux parties égales l'arc AB d'un cercle donné ou un angle AOB.
p étant quelconque mais plus grand que -1 AB, je trace A(p), B(p), (2 Cl -4- 2C3) qui se coupent en E, je trace la ligne qui joint E au centre du cercle (2R,h-R2). Cette ligne coupe le cercle entre A et B au point D qui divise l'arc AB en deux parties égales.
op.: (2Ri+R2-h 2Ci4-2C3);
simplicité : 7; exactitude : 4 ; » droite, 2 cercles.
Si c'est l'angle AOB qu'il faut diviser, j'ai, de plus, à tracer un cercle 0(0A), OA étant quelconque (Gi-f- Co), qui coupe OB en B et OA en A. Le symbole sera
op.:(2Ri + R2+3C,H-3C3); simplicité : 9; exactitude: 5; i droite, 3 cercles.
Nous allons étudier la construction de la page 93 indiquée par Iay%. 112 pour le cas où les deux droites OA, OB ne peuvent être prolongées jusqu'à leur rencontre; chemin faisant, nous mettrons, en relief, la différence radicale des points de vue du géomètre et du géométrographe, et, en œuvre, l'exemple de ressources que la Géométrograpliie possède pour remplir les objets qu'elle a en vue et que nous avons signalés au commencement de celte Note.
La construction donnée dans le texte est excellente pour le géomètre, car elle est presque intuitive dans sa simplicité d'exposition, mais fort mauvaise le compas à la main. Appliquons au pied de la lettre ce qui est dit n° 133, page 93. On mène une perpendiculaire quelconque EP [fg. 112) sur AB et une perpendiculaire quelconque FQ sur CD; en employant les procédés du livre, classiques d'ailleurs partout jusqu'ici, on aies opérations
(4Ri-h2R2-h4Ci+ 2C2-h6C3);
on prend sur ces perpendiculaires les deux longueurs quelconques
égales FH et EG(2Gi-H 2C3); par H et par G on mène des parallèles respectivement à CD et AB
le point M où elles se coupent est un point de la bissectrice cherchée; il faut obtenir par le même moyen un second point M' de la bissectrice
(SRi-f- 4R2-MGC1 4- 2C2-f- 14C3)
et tracer MM'(2Ri'-{- R2). En tout :
op.:(i8Ri4-9R2+32Ci4-4C2+28C3); simplicité : 91; exactitude : 54; 9 droites, 28 cercles.
L'emploi de l'équerre, pour exécuter cette construction, donnerait le svmbole
op. : (iSR'i + 9R2-i- 4:E -h 4C, H- 4C3);
simplicité: 39; exactitude: 26; 9 droites, 4 cercles.
En nous bornant à compter ainsi les constructions faites, nous remplissons le premier objet de la Géométrographie.
Si l'on construit la bissectrice d'après cette solution géométrique, il est certain que, sans aucune notion de Géométrographie, on pourra éviter un tel luxe de constructions inutiles et que l'on apercevra des simplifications évidentes, par exemple qu'il suffit de mener une perpendiculaire à chacune des droites, puisqu'on peut prendre sur elle deux autres longueurs égales entre elles Fil', EG', etc., et obtenir le second point M', etc. ; pour un géomètre habitué à effectuer des constructions, la chose ne semble pas faire de doute, mais cependant l'idée de la simplification systématique d'une construction donnée est si peu, jusqu'ici, dans l'esprit du géomètrf\ qu'il pourra les exécuter maciiinalement telles qu'elles sont énoncées ; j'ai fait l'expérience, pour ce problème, sur quatre personnes et il n'y en a qu'une seule qui ait légèrement simplifié l'opération.
On apercevra un autre côté de la Géométrographie en se proposant, non plus de compter seulement les constructions faites, mais de chercher à obtenir les points M et M' le plus simplement possible sans changer d'abord le principe de la construction. Voici un moyen qui se présente naturellement à l'esprit :
Je trace un cercle quelconque (C3) mais coupant l'une des droites données AB en E et Ei, l'autre CD en F et Fi ; par le moyen de ce cercle, je mène les perpendiculaires à la droite AB en E et en Ei et à la droite CD en F et en Fi (i6Ri-i- 8R2). Je prends dans le sens convenable, sur ces perpendiculaires, Ee = Eiet = F/= Fj/j; je trace
SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE.
6<^u fji qui se coupent en M(4Ri-h 2R2-4- 4Gi-i- 4C3); j'ai de même M' par (4 Ri 4- 2 Us -f- 3Ci-i- 4C3), en prenant Ee'= Eje', = Ff'=Fif\ et traçant e'e'i , f'f\ ; enfin je trace MM' (-2 Ri -f- R2 ) :
op. : (26Ri-i- i3a24- 7C1 -+- 9C3); simplicité: 55; exactitude: 33; i3 droites, 9 cercles.
Pour placer M', j'ai compté un Ci de moins que pour placer M, parce que, en supposant que j'aie placé les points e, ci, f, fi dans cet ordre, je laisse la pointe en /i pour placer f\ en modifiant seulement l'ouverture du compas.
En s'appiiyant sur le même principe du tracé de parallèles équidistantes des deux droites, on peut encore diminuer le symbole précédent en opérant ainsi : de deux points quelconques comme centres (un point étant pris sur chaque droite), on décrit deux cercles de même rayon quelconque, on obtient facilement dans c'es cercles des cordes parallèles à la droite sur laquelle est leur centre et équidistantes de ces droites; ces cordes se coupent en un point de la bissectrice cherchée, etc. On arriverait, finalement, à la trouver ainsi par :
op. : (10R1-1-5R2 + 7G1-1- 2G2+ 10C3); simplicité : 34; exactitude : 19; 5 droite, 10 cercles.
Après avoir étudié le symbole de diverses constructions de ce même problème, je suis arrivé, finalement, à choisir^ comme construction géométrographique, celle qui suit :
Conslructinn géométrographique {fg. 112''^"). — G étant un point
FJî
arbitraire de GD, je trace un cercle G(p)(G2-+- C3) de rayon arbitraire, qui coupe GD en D, AB en A. Je trace A(p)(GiH-G3) qui coup©
AB en B, puis D(p)(Ci-4- C3) qui coupe A(p) en E du môme côté do CD que A. Je trace BE('2RtH-B2) qui coupe CD en D'. Comme la figure AEDG serait un losange, AE serait parallèle à CD, EAB sérail isocèle ainsi que BOD', si l'on appelle 0 le point où se couperaient CD et AB. La perpendiculaire au milieu de BD' sera donc la droite cherchée, laquelle s'obtient en traçant les deux cercles B(p')(Ci-+-C3), ^'ip') (Ci-hCa), p' étant quelconque, qui se coupent en M et M' et traçant MM'(2Ri + R2).
op . : (4 R 1 + 2 B 2 + 4 C 1 + C 2 + 5 C 3 ) ; simplicité: iG; exactitude: 9; adroites, 5 cercles.
Si l'on voulait employer l'équerre, on mènerait une parallèle quelconque AE à Ci) (2R1 H- R2). on décrirait un cercle quelconque A (AE) coupant AE en E et AB en B op. :(Ci-f-C3), on tracerait BE op.: (2RiH-R2), coupant DC en Depuis on tracerait la perpendiculaire au milieu de BD' (2R1-1- R2-+-2Ci-f- 2C3) :
op.: (4Ri+2R;-+-3R2-f-3Ci4-3C3); simplicité : i5; exactitude : 9; 3 droites, 3 cercles.
De 91 opérations élémentaires à 16 avec la Géométrograpliie canonique et de 39 à i5 en admettant l'emploi de l'équerre, telles sont les réductions que la Géométrographie conduit à opérer dans la construction de ce très simple problème.
XXIII. Tracer le cercle circonscrit à un triangle donné par ses trois sommets A, B, C, ou tracer un cercle passant par trois points.
Pour placer le centre 0, on a(4Ri-4- 2R2-+- 3Ci-f- 3G3), puis on met une pointe en 0, l'autre en A et l'on trace 0 (0A)(2Ci-+- C3):
op. :(4Ri4-2R2+5Ci-4- 4C3); simplicité: i5; exactitude, 6; 2 droites, 4 cercles.
