AC ■" EG

Je trace A(AE) (2 Ci -+- G3) qui coupe le cercle donné aux points do coulact L et L', je trace alors AL, AL' (4^1-+- 2II-2)

op.: (5RiH-3R2+6Gi-h4C3); simplicité : 18; exactitude : [i ; 3 droites, 4 cercles.

Gelte construction n'exige pas que le centre du cercle soit placé.

XXV. Décrire sur une droite donnée AB un segment capable d'un angle donné.

Construction classique (^flg. 119), p. 99. — Pour construire en B un angle ABO égal au complément de l'angle donné, il faut d'abord construire ce complément sur l'angle donné; on trouverait en exécutant toutes les constructions telles qu'elles sont indiquées:

op. : (6Ri-H3i\2-^- 11G1+8G3); simplicité : 28; exactitude : 17; 3 droites, 8 cercles.

On pourrait économiser (Gi-i-Ga) en élevant la perpendiculaire au milieu de AB en môme temps qu'on trace l'angle ABO, en se servant

d'un cercle tracé de 0 comme centre avec le rayon ( supposé > -;— ) qu'on a dans le compas.

Construction gebmétrograp/iique ifig' 119*'^). — Soit ays l'angle donné; si Ton imagine le triangle isocèle ays où ^^c = as = AB et dont

Fig. 119''".

le centre du cercle circonscrit est w, que l'on appelle X le milieu de y« les triangles rectangles 0E13 (/?"«•. 119) et wXa (y7^. 119'^'^; sont égaux

comme ayant les angles OBE, waX égaux et EB = aX; wa sera donc le rayon du cercle segment capable cherché.

Je construis coXa de la façon suivante: je trace y(AB) (SCi-f-Cs) qui place a, a(AB)(Gi-H C3) qui place s, je trace e(AB)(Ci-f- C3), puis l'intersection des deux cercles £(AB), y(AB)(2Ri -f-B2), ce qui place aw; puis l'intersection des deux cercles 7(AB), a (AB)(2Ri-i-R2) qui place wX et, par suite, w. Pour placer 0 {fg. 119) maintenant, je trace A(aja), B(toa)(4Gi H- 2C3) dont 0 est l'intersection; je trace enfin 0(wa)(CiH- C3), cercle auquel appartient le segment cherché.

op. : (4Ri-i-^R2H-ioCi-+-6G3); simplicité: ii\ exactitude: 14; 2 droites, 6 cercles.

XXVI. Mener les tangentes communes à deux cercles 0 et 0' dt^ rayons R et W .

Nous allons traiter le cas où les deux cercles sont extérieurs, où il y a par conséquent quatre tangentes communes à tracer; l'examen de tous les cas n'offre point de difficultés, nous laisserons le lecteur faire lui-même la discussion.

Première construction^ n" 163, p. 100.

La construction indiquée ne l'est naturellement qu'au point de vue du Géomètre, sans entrer dans les détails précis d'exécution; en construisant, d'après les errements des constructions précédemment énoncées dans le cours de l'Ouvrage, sans l'idée de la recherche systématique de simplifications, on arrive, pour construire les quatre tangentes, au symbole : •

op. : (28Ri-h i4R2-+-3iC,-Hi9C3);

simplicité: 92; exactilude : 69; 14 droites, 19 cercles.

Sans aucun principe de Géométrographie, il y a des simplifications évidentes et, avec un peu d'attention, on n'arriverait pas à un symbole aussi élevé; mais, exécutée devant moi, par des géomhlvQS non prévenus, elle n'a jamais été faite avec moins de 78 opérations élémentaires. En la traitant économiquement, suivant les principes géométrographiques, sans rien changer à la solution géométrique, on arrive au

symbole :

op. : (24R1-1- i2R2^iiGi-h8G3);

simplicité : 55; exactitude : 35; 12 droites, 8 cercles,

et je ne voudrais pas affirmer qu'il ne puisse encore être un peu dimmué.

SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE.

Deuxième construction, n° 260, p. 176. — En exécutant les opérations indiquées dans le texte, on arrive au symbole :

op. : (2iRi + iiR2-hi3Ci-{-9G3); simplicité: 54; exactitude: 3'4; 11 droites, 3 cercles

Elle ne prête pas à des simplifications aussi nombreuses que la première, car en l'exécutant avec l'économie géométrographique, je trouve le symbole :

op. : (iSRiH-gRs-hi^Ci + SCa);

simplicité: 45; exactitude: 3o; 9 droites, 8 cercles.

Si elle a l'inconvénient d'être, telle quelle, souvent inexécutable parce qu'il faudrait sortir des limites de l'équerre, ce qui n'a pas lieu pour la première, elle paraît, en tous cas, et est dite par les géomètres, plus simple que la première.

Construction géométrographique (fig. 3).

Comme pour toutes les constructions à exécuter, on doit faire un croquis afin d'étudier les simplifications de tracé dont la solution géométrique est susceptible; en supposant le croquis fait, je vois que

Fij?. 3.

si j'appelle V, Vi, V, Y\ les points d'intersection des quatre tangentes communes, Vi V',VVi étant les deux tangentes communes extérieures, YV, Vi V'i les deux intérieures, les quatre points V, V, Vi, Y\ sont sur le cercle décrit sur 00' comme diamètre. Si l'une dos tangentes communes, VV par exemple, est tracée ain?i que ce cercle, les points Vi, V'i s'obtiendront avec une extrême simplicité, puisque V et Vi, V et V^

sont sur le cercle 00' et symétriques par rapport à la droite 00'; il n'y aura alors qu'à les joindre convenablement pour avoir les trois autres tangentes communes. Je vais déterminer la tangente VV en me servant du principe géométrique de la première construction (p. loo), c'est-à-dire mener du point 0 une tangente au cercle 0'(R + R').

Je trace 00' (2R1 + R2), je marque sur O'O le point A tel que 0'A = R + R' (SCi+Cs), je trace 0(p), 0'(p) (2C,-4- 2C3) qui se coupent en E, VJ. p étant quelconque; je trace, la pointe restant en 0', O'(O'A) (C1+C3), puis O(O'A) (Ci-f-Cg), dont j'aurai besoin plus tard; je trace EE' (2 Ri h- R2), qui coupe 00' en oj, je trace oj(œO) (2C1+ G3) qui coupe O'(O'A) en T au-dessus de 00' et O(O'A) en / au-dessous, je trace O'T et Ot (4Ri4- 2R2) qui coupent respectivement les cercles 0 et 0' en S au-dessous de 00' et en S' au-dessus. Je trace SS' (2R1 -^ R2), c'est une tangente commune intérieure; elle coupe to(wO) en V au-dessus de 00' et en V au-dessous. Je trace O'(O'V') (2Gi-t-G3), qui coupe a)(wO) en V; et je trace O'(O'V) (Ci-f-G3), qui coupe a)(wO) en Vi; enfin je trace ViV'j (2RiH-R2), c'est la seconde tangente intérieure. Je trace enfin Vi V, YV'i (4 Ri H- 2R2); ce sont les deux tangentes communes extérieures :

op. : (I6Rl-^8R2-^I2G,-^8C3); simplicité : 44; exactitude : 28; 8 droites, 8 cercles.

Voici quelques remarques importantes : La seconde construction, non géométrograpliique, donnée page 164, déduite d'une solution géométrique était réputée plus simple que la première — et le paraissait incontestablement, — on voit cependant, en traitant la première comme il convient par la môlhode géométrograpliique, que c'est elle que l'on réduit à être la plus simple et, de plus, elle ne dépasse jamais les limites de l'épure, ce qui n'est pas le cas de la seconde.

Quand on clierclie à réduire les symboles, il faut souvent remarquer l'influence de l'ordre dans lequel on eiroctue les constructions; ainsi, si l'on change l'ordre dans lequel nous avons indiqué les premières opérations de cette construction en ne traçant les lignes qu'au fur et à mesure du moment où elles se présentent dans le raisonnement géométrique sans modifier cet ordre suivant les simplifications qui en peuvent résulter, on trouvera que le symbole est augmenté de quelques unités. Cela montre encore l'utilité du croquis préalable pour discuter !a construction.

Nos figures doivent paraître, à l'œil, plus compliquées, en général, que les figures usuelles tracées pour développer les constructions; par exemple, la /ig. 3 contient beaucoup plus de lignes que les J?^. 120

SUR LA GÉOMÉTROGUAPniE,

ou 1201, mais c'est une pure illusion; les nôtres contiennent toutes les lignes qu'il faut tracer, et quelquefois d'autres en ponctué, pour l'explication (par exemple dans la/-. 1, p. 622), tandis que les figures classiques ne contiennent que les lignes nécessaires à l'exposé et peu ou point des lignes auxiliaires tracées effectivement pour les obtenir.

XXVII. Trouver la quatrième proportionnelle X à trois lignes données M, N, P if g, 173, p. i63) X = ^.

Fig. .73'

La construction exécutée par la méthode classique indiquée se traduit par le symbole :

op. : (4Ri-f-4R2-+-i4C,+ 6G3); simplicité : 28; exactitude : 18; 4 droites., 6 cercles.

Construction géomètrographique {fig, 173*^'^). — La construction s'appuie sur le lemme suivant : Soient AB, CD deux cordes parallèles dans un cercle; soit P' un point quelconque du cercle^ I le point oit V A coupe CD; on a, quel que soit P', P'B.AI = AC.CB. Cela résulte immédiatement de la similitude des deux triangles CAI, P'BC.

D'un rayon quelconque, mais plus grand que la moitié de la plus grande des trois lignes données M, N, P, je trace une circonférence (C3); sur elle je prends les cordes CA = N('2Ci-4-C2-f- G3), CB = P(3Ci+C3), AD = P(C,-r-C3), BP' = M(3CiH-G3), les arcs CA, CB, AD, BP' ayant le même sens; je trace les droites CD, AP'(4RiH-2R2) qui se coupent en I; AI est la quatrième proportionnelle cherchée.

op. : (4R1+ '2R2-4-ioCi-f-5C3);

simplicité : 21; exactitude : [4; 2 droites, 5 cercles.

Remarque. — Nous avons déjà dit que, dans l'exposé des constructions géométrographiques, il ne fallait employer que des constructions

NOTli IV.

générales. Ainsi, par exemple, voici pour le problème que nous traitons une solution non générale, beaucoup plus simple que la construction géométrographique, mais elle exige que iM. soit plus grand que la plus grande des lignes N et P {fg. 4).

Fig. 4.

0 étant quelconque, je trace 0(M) (2C1-+-C3); d'un point C quelconque de 0(M), je trace C(N) (2Gi+C2H-C3), qui coupe 0(M) en A, puis je trace A(P) (3C1-1-C3), qui coupe 0(M) en B. C, A, B se suivant dans cet ordre sur 0(M), je trace B(P) (Ci-i- C3), qui coupe C(N)en A'.

AA', qu'il n'y a pas besoin de tracer, est la quatrième proportionnelle cherchée :

op. : (8Gi-hC2-4-4C3);

simplicité : i3; exactitude : 9; 4 cercles.

AA' est le double de la hauteur ha parlant de A dans le triangle ABC, Or, dans ce triangle, on a

4RS = abc,

4C0^//a=ÇB.AC.AB,

c'csl-à-dire