XXXI. Diviser une droite AB en moyenne et extrême raison

La construction classique indiquée p. lyS, J/g. 181, exécutée telle qu'elle est énoncée sans précautions géométrographiques, a pour symbole :

op.: (GRi+SRaH-iiCi+gCa);

simplicité : '29; exactitude : 17; 3 droites, 9 cercles.

En la conduisant économiquement, suivant les procédés géométrographiques, on peut la réduire à

op. : (4Ri-i- 2R2+ loGi+SCa); simplicité : 24; exactitude : i4; 2 droites, 8 cercles.

On opère ainsi : tracer la perpendiculaire au milieu 0 de AB (2Ri-i-R2-f-2Gi + 2C3), prendre BO et tracer B(B0)(2Gi + G3), tracer 0 (BO) (Ci+ C3), qui coupe en E la perpendiculaire élevée à BC au milieu 0 de AB, tracer E (BO)(Ci-h C3), qui coupe B(BO) en C, tracer G (BO) (Cl -H G3), tracer AG(2Ri-hR2), qui coupe G (BO) en D

et en D', enfin tracer A (AD), A(AD')(3Ci4- 2C3), qui coupent AB aux points X et X' cherchés.

Première construction géométrograpidque {fig. \%\^^^). — Je trace A(AB) (2C1+ C3) qui coupe AB en B'; je trace B'(AB)(Ci-h C3) qui

Fig. 181'"'.

B" X'' , B'; eu A ,''X B

coupe AB en B' et A(AB) en F; je trace B"(B"A)(2Ci-i- C3) et B(B'A)(Gi-i- C3) qui se coupent en 0; la pointe du compas restant en B, je prends la longueur BF(Ci); je trace 0(BF)(CiH- G3) qui coupe AB en X entre A et AB et en X'. Ce sont les deux points cherchés.

op. : (8C,4-5C3); simplicité: i3; exactitude: 8; 5 cercles.

On la démontre ainsi. Soit w le milieu de AB'; les trois points a>, F, 0 sont sur la perpendiculaire au milieu de AB'; on a facilement, par des triangles rectangles,

Z7Ô^ = Ôb' — ^i'= 4^2 . 1^2 = 7-,

BF =wB +wF =91- + if^ = 3^2, 4 4

2 2 ■ 2 2 rA 5/72

o>X =a>X' =0X -Oto = 3a2 -^IL = ±^,

AX = toX — (oA = — 1/5 >

AX' = a)X'+ u)A =-v/5-i--.

Deuxième construction gcométrograp/iique {fig. iSi^*'"). — Je trace A(AB)(2CiH- C3) qui coupe AB en B', et B'(AB) (Gi-f- G3) qui coupe A(AB) en F et en F'; je trace FF'(2Bi-i-R2) qui coupe AB en G, je trace G(AB)(GiH-G3) qui coupe FF' en H; laissant la pointe en G;

SUR L\ GÉOMÉTROGRAPIIIE. 543

je pronds la longueur GB(C,)etje trace H(BG)(Gi-i- C3) qui coupe

Fi-. iSi"''-.

AB en X entre A et B et en X'. Ce sont les deux points clierchés.

op. : (2Ri-i-R24-6C, + 4C3); simplicité : t3; exactitude : 8 ; i droite, 4 cercles.

La construction se justifie ainsi :

. —Ji

GX' = GX = Vxh'-GH^ = sjm^ — «2 = 4/1 a2— «2 = I /5,

d'où

AX — - \i-3

AX'= -y/an

Troisième construction géoniétrographique {fig. i8i'7"«'c''). — Je

Fig. iSi"?"""''"

trace A(AB) (2C1-+- C3)qui coupe AB enB'; je trace B(AB) (Ci-f- C3) qui coupe A(AB) en G au-dessous de AB; je trace B'G(2Ri + R2); je trace B'(AB)(Ci-f- G3) qui coupe A(AB) en F au-dessus de AB eL CB'

en G entre B' et G; je trace enfin F(FG) (2C14-C3) qui coupe AB enX entre A et B et en X'. Ce sont les points cherchés.

Même symbole que la précédente.

Elle peut se justifier aussi ainsi qu'il suit : l'angle FB'G étant la somme des angles FB'A, AB'G, respectivement égaux à 60" et à 36°, est droit, donc FG = ay/^ = FX. Si w est le milieu de AB' projection de F sur AB, on a

o>x=..x'=v/F5c^-F^'=^^^;^rç=^,

d'où

nJS a . „ , as/^ a