AX = ~ , AX

Cette construction est une application du théorème suivant : Soit un cercle de centre A; soient B et B' les extrémités d'un diamètre, H le milieu de AB', P un point quelconque de la perpendiculaire menée par H à AB, G l'extrémité d'un diamètre perpendiculaire àPA. Le cercle qui a pour centre P et pour rayon PG passe par les deux points X et X' qui divisent AB en moyenne et extrême raiwn. On voit que ce ne sont pas les constructions plus simples que la construction classique qui manquaient, et celles qui précèdent ne sont que les constructions géométrographiques, c'est-à-dire de simplicité minima; sans cela il y en aurait bien d'autres. Ce qui manquait c'était le critère géométrographique pour l'affirmer sans discussion possible.

Nous ne voulons pas terminer cette Note sans dire quelques mots sur les deux solutions données dans cet Ouvrage du célèbre problème d'Apollonius : Tracer une circonférence tangente à trois circonférences données. Cherchons d'abord brièvement le symbole géométrographique de la solution de M. Fouché, p. 297, en supposant que les trois cercles donnés sont extérieurs les uns aux autres. Nous supposerons, comme toujours en Géométrographie, qu'il n'y a, sur l'épure, que les trois cercles donnés et que leurs centres sont placés {fg. 247, p. 298).

Je trace les quatre axes de similitude; on verra sans peine qu'on peut les obtenir par (24Ri-f- i2R2-h 4Ci-4- 2C3). Je dois maintenant prendre un point arbitraire de la circonférence 0; je le choisis, le plus avantageusement, en prenant une intersection de la circonférence 0 avec 00'. M^se trouve placé et j'obtiens M' en traçant MS"(2Ri-h R2). Je trace le cercle M M' M" (4 B j-i- 2 R2+ 5 Ci-h 4 C3). Je trace MN (2 Ri-t- R.2) qui coupe SS' en U. Je cherche les points de contact A et Ai des deux tangentes menées de H au cercle 0(7Ci-h3C3). Je les ai par ce symbole très simple, parce qu'il y a, sur la figure, un diamètre MO déjà trace.

SUR LA GÉOMÊTROGRAPIIIE. 545

dont je puis me servir {voir XXIV, Première construction géométrograp/iiqae), et porce que je n'ai pas besoin de tracer les tangentes. Je place les aniihomologues A', A*', Aj, A'^ de A et de Ai sur les deux autres cercles donnés, en menant quatre droites (8Ri-4-4R2)' Je trace OA, 0'A'(4Ri-i- 21^2) qui se coupent en w et OA, O'A', (4Ri-i- 2R2) qui se coupent en wi. Je trace enfin to(toA), wi(wiAi) (4C1 + 2C3) qui sont Id circonférence touchant extérieurement et la circonférence touchant intérieurement les trois circonférences données.

Je vois que ce qui a été fait jusqu'au tracé de MN inclus, sert pour tracer les trois autres groupes de deux circonférences qui compléteront la solution, je n'ai donc qu'à répéter trois fois le symbole de ce qui a été construit après le tracé de MN, c'est-à-dire à répéter trois fois (aoRi-hioCa-hiiGi-h 5C2) et à ajouter cela au symbole des constructions analysées jusqu'à MN, pour obtenir le symbole de la construction totale.

op. : (ii2Ri-h 56R2+53Gi-t-26C3);

simplicité : 247 ; exactitude : i65 ; 56 droites, 26 cercles.

Pour ne pas allonger outre mesure cette Note, je me bornerai à donner le symbole de Géométrographie canonique que j'ai calculé pour la solution de Dobillier et Gergonne; c'est

op. : (i2oRi4- 6oR2-f- io4Gi-i- 72 C3); simplicité : 356; exactitude : 224; 60 droites, 72 cercles.

Je renvoie le lecteur, pour plus de détails, à une Note où le sujet est traité {Nouvelles Annales, 3^ série, t. XI, p. 453-474; 1892).