LIVRE I. — LA LIG^E DROITE. IQ

Ainsi {fig. 23), dans ce retournement du triangle isocèle

BAC, B venant en C et C en B, le milieu I de BC retombe sur

^£ lui-même aussi bien que le sommet A. Par suite, l'angle AIG

^K vient recouvrir son adjacent et supplémentaire AlB, et l'angle

CÂI son adjacent BAI. Donc, dans tout triangle isocèle BAC, la droite qui joint le sommet A au milieu I de la base BC est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en deux parties égales.

La droite AI satisfait donc aux quatre conditions suivantes : elle passe par le sommet A, par le milieu I de la base BC, elle est perpendiculaire sur cette base, elle est bissectrice de l'angle au sommet.

Or, deux de ces quatre conditions suffisent pour déterminer la droite AI; car on sait que par deux points on ne peut mener qu'une droite, qu'un angle n'admet qu'une bissectrice, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite. Donc toute ligne droite, assujettie à deux des quatre conditions indiquées, remplira nécessairement les deux autres.

28. On appelle hauteurs d'un triangle quelconque les perpendiculaires abaissées des différents sommets sur les côtés opposés.

Tout triangle a donc trois hauteurs, comme il a trois bissectrices : ce sont les bissectrices de ses angles.

Enfin, en entend par médiane d'un triangle la droite qui joint un sommet de ce triangle au milieu du côté opposé; un triangle a aussi trois médianes.

Dans un triangle isocèle, on appelle plus spécialement

20 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

hauteur dti triangle la perpendiculaire AI abaissée sur le côté B(] qui n'a pas d'égal, c'est-à-dire sur la base ûu triangle (27). La droite AI est à la fois hauteur, bissectrice et médiane.

Il résulte du n*^ 2G que tout triangle dont les trois angles sont égaux est équilatéral, et, réciproquement, que tout triangle équilatéral a ses trois angles égaux.

On obtient un triangle équilatéral en prenant un triangle isocèle BAC et portant sur la base BC, dans les deux sens à partir du milieu I, des longueurs égales à la moitié de AB.

THÉORÈME