GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

c'est-à-dire à l'angle A'B'C; donc les triangles ABC, A'B'C/ sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun (2°).

SCOLIE

30. Deux triangles égaux, ABC, A'B'C, satisfont à six conditions, savoir :

AB=r:A'B', AC=:A'C', BC=rB'G',

Chaque cas d'égalité renferme trois de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les six soient remplies. Par suite, quand on aura reconnu dans une certaine figure l'égalité de deux triangles par l'application de l'un des trois cas énoncés, ori devra en conclure immédiatement l'égalité des trois éléments non employés, et l'on aura acquis ainsi de nouvelles données qui permettront d'aller plus avant dans la recherche que l'on poursuit. Tel est l'usage de la théorie de l'égalité des triangles.

Il est essentiel de remarquer que, dans deux triangles égaux, les côtés égaux sont toujours opposés aux angles égaux.

THÉORÈME

31. Si un triangle a deux côtés Inégaux, l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que V angle apposé à Vautre,

Soit {fig. 26) le triangle ABC, dans lequel on a AC> AB;

il faut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB. Prenons AD=:rAB et menons la d'oite BDK; le triangle

LlVllE

— LA LIGNE DROITE

ABD étant isocèle, l'angle ABD est égal à l'angle ADB ou à son opposé par le sommet KDC; l'angle KDC est donc moindre que ABC.

Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons BI d'une longueur lE égale à BI et tirons la droite DE; les triangles DIE, BIG ont un angle égal DIE = BIC compris entre deux côtés égaux DI = IG, El = IB ; ils sont donc égaux et l'angle EDI est égal à IGB; mais, d'après la construction, le point E est situé dans l'angle KDG; donc l'angle KDG est plus grand que EDI ou que son égal AGB.

Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur à AGB et inférieur à ABC, il faut que l'angle AGB soit moindre que l'angle ABC.

32. Réciproquement, si un triangle a deux angles inégaux, le côté opposé au plus grand de ces deux angles est plus grand que le côté opposé à Vautre,

Ainsi, si l'angle ABC est plus grand que l'angle AGB, on doit avoir AG > AB.

En effet, si l'on avait AG = AB, on aurait (25)

angle ABC = angle AGB,

et, si l'on avait AG < AB, on aurait

angle ABC < angle AGB.

THÉORÈME

33. Dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Il suffit de démontrer que le plus grand côté BC est moindre que la somme BA h- AG des deux autres {fis- 27).

24 GÉOMÉTRIE DANS l'esPACE.

Prolongeons BA d'une longueur AD=:AC, et menons CI). Le triangle ACD étant isocèle, l'angle I) est égal à l'angle ACD et, par suite, moindre que l'angle BCD; donc dans le triangle BCD, le côté BC est moindre que BD, c'est-à-dire que

BA + AD ou BA + AC.

Corollaires.

34. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est plus grand que la différence des deux autres AC et AB. En effet, soit AB le plus grand des deux côtés AC et AB, on aura, d'après le numéro précédent,

I3C + AOAB;

d'où, en retranchant AC de part et d'autre, BC > AB - AC.

Trois droites de longueurs arbitraires ne peui>ent pas toujours former les trois cotés d'un triangle. Il faut que la plus grande d'entre elles soit inférieure à la somme des deux autres. Par exemple, il n'existe pas de triangle dont les côtés aient des longueurs respectivement égales à 7 mètres, 5 mètres, i mètre.

THÉORÈME

35. La ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémités.

Soit AB une ligne droite et ACDEFB une ligne brisée ayant les mêmes extrémités {fig. 28).

En joignant le point A aux sommets D, E, F de la ligne