AB + BC 4- CD < AM 4- MN 4- ND

26 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

On prouverait de ]a même manière que toute ligne poljgonale convexe ABCD est moindre que toute ligne polygonale EFGHIK qui l'enveloppe de toutes parts {fig. 3o).

THÉORÈME

37. Si deux côtés d'un triangle sont égaux à deux côtés d'un autre triangle chacun à chacun, et si l'angle compris entre les deux premiers est plus grand que V angle compris entre les seconds, le troisième côté du premier triangle est plus grand que le troisième côté du second {fig. 3i).

Soient les deux triangles ABC, A'B'C dans lesquels on suppose AB =: A'B', AC = A'C, angle BAC > angle B'A'C; il faut démontrer que le côté BC est plus grand que B'C.

Transportons le triangle A'B'C en ABC", de façon que A'B' coïncide avec AB; l'angle BAC", égal à B'A'C, étant moindre que BAC, le côté AC" tombera dans l'intérieur de l'angle BAC. Soit I le point oij la bissectrice de l'angle C"AC rencontre BC; les deux triangles CAI, C"AÏ ayant un angle égal CAI = C"AI, compris entre un côté commun AI et deux côtés égaux AC"=AC seront égaux, et l'on aura IC"=IC; mais, dans le triangle BC"I, on a

BC"<Bl4-IC"; donc

BC"<BI + IC ou B'C'<BC.

38. Béciproquement, si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, et si le troisième côté du premier est plus grand que le troisième côté du second, l'angle opposé du