LIVRE I

LA LIGNE DROITE

droite MC, qui joint le sommet au milieu C de la base, est perpendiculaire sur cette base (27).

Corollaires.

kl, 11 résulte de là que tous les points de la perpendiculaire menée à une droite par son milieu sont équidistants des extrémités, de cette droite, et que les points de cette perpendiculaire sont les seuls points du plan qui jouissent de cette propriété. On donne le nom de lieu géométrique à la figure formée par l'ensemble des points qui jouissent d'une propriété commune.

On peut donc exprimer la double proposition qui précède en disant :

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le LIEU GÉ0MÉTRIQU2 des points équidistants des extrémités de cette droite.

Deux points suffisent pour déterminer une droite. Donc, dès qu'une droite a deux points équidistants des extrémités d'une seconde droite, on peut affirmer que la première droite est perpendiculaire sur le milieu de la seconde.

THÉORÈME

48. Tout point M pris sur la bissectrice AD d'un angle BAC éest également distant des deux côtés de cet angle U'S- 35).

La distance du point M au côté AB est la longueur de la perpendiculaire ME abaissée du point M sur AB; de môme, la perpendiculaire MF, abaissée du point M sur AG, mesure la distance du point M au côté AC. Il s'agit de démontrer

32 GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.

l'égalité de ME et de MF. Or cette égalité résulte de celle des deux triangles MAE, MAF, qui, rectangles en E et en F, ont l'hypolénuse AM commune et un angle aigu égal, savoir MAE = MAF, puisque la droite AD est la bissectrice de l'angle BAC.

49. Réciproquement, tout point M pris à l'intérieur d'un angle BAC, à égale distance ME = MF de s,es deux côtés AB et AC, appartient à la bissectrice de cet angle.

En effet, en menant la droite MA, on obtient deux triangles rectangles, MAE, MAF, qui sont égaux comme ayant l'hypoténuse MA commune et un côté de l'angle droit égal : ME = MF. Donc l'angle MAE opposé au côté ME est égal à l'angle MAF opposé au côté MF, et la droite AM est la bissectrice de l'angle BAC

Corollaire.

50. La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des points qui, situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidistqnts de ses côtés et, par suite , le lieu géométrique des points équidistants de deux droites qui se coupent se compose des deux bissectrices des angles for m,és par ces droites,

SCOLIE

51. Pour établir un lieu géométrique, il faut toujours prouver une double proposition composée, soit d'une certaine proposition directe et de sa réciproque, soit de cette même proposition directe et de la proposition contraire.

Ainsi l'on démontrera : que tout point d'une certaine figure jouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que tout point jouissant de cette propriété appartient à cette figure (proposition réciproque);

Ou bien : que tout point d'une certaine figure jouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que tout point pris hors de cette figure ne jouit pas de cette propriété (proposition contraire ).

11 est ordinairement plus simple d'adopter le premier mode, c'est-à-dire de démontrer la proposition directe et sa réci-