LIVRE I. — LA LIGNE DROITE

leur point de concours, on pourrait mener deux parallèles àC.

59. Lorsque deux droites AB et CD sont parallèles, toute droite EB\ perpendiculaire sur l'une AB, est perpendiculaire sur l'autre {jig- Sg).

Fig.

D'abord la droite EF rencontre CD (57). Concevons par leur point d'intersection F la perpendiculaire à EF. Cette perpendiculaire, devant être parallèle à AB (5^) coïncidera avec CD, puisque par le point F on ne peut mener qu'une parallèle à AB. Donc, CD est perpendiculaire sur EF et, inversement, EF est perpendiculaire sur CD.

On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide, en disant : Deux parallèles ont leurs perpendiculaires communes.

THÉORÈME

60. Lorsque deux droites parallèles AB et CD sont rencontrées par une sécante EF {fig- ko) :

Fig. 4o.

1° Les angles alternes-internes sont égaux;

2° T^es angles alternes-externes sont égaux;

3° I^es angles correspondants sont égaux;

4° Les angles intérieurs d'un même côté sont supplémen

taires, et il en est de même des angles exlérieurs d'un même côté.

En effet :

1° Par le point 0, milieu de la partie intermédiaire GH de la sécante, menons sur les parallèles AB et CD la perpendiculaire commune IK; 01 tombera dans l'angle aiguOGA, elOK dans l'angle aigu OUI) (41). Or, les triangles rectangles OGI, OHK, ont leurs hypoténuses OG et OH égales, puisque le point 0 est le milieu de GH, et les angles aigus lOG, KOH, égaux comme opposés par le sommet : ils sont donc égaux (44), et, par suite, les deux angles alternes-internes OGI, OHK, sont eux-mêmes égaux. Les deux autres angles alternes-internes BGH, CHG, sont aussi égaux comme suppléments des précédents.

2° Les quatre angles alternes-externes EGB et FHC, EGA et FHD, sont égaux deux à deux comme opposés par le sommet aux angles alternes-internes;

3° Les huit angles correspondants sont égaux deux à deux, l'un des angles du groupe considéré étant toujours opposé par le sommet à l'angle alterne-interne ou alterne-externe de l'autre;

4° Les quatre angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires deux à deux, l'un des angles du groupe considéré étant toujours le supplément de l'angle qui est le correspondant de l'autre.

Les quatre angles extérieurs d'un même côté sont aussi supplémentaires deux à deux pour la même raison.

6L Réciproquement, deux droites AB et CD, étant coupées par une sécante EF, ces droites sont parallèles {fig, 40 •

Si les angles alternes-internes sont égaux;

Ou, si les angles alternes-externes sont égaux ;

Ou, si les angles correspondants sont égaux;

Ou, si les angles intérieurs d'un même côté ou les angles extérieurs d'un même côté sont supplémentaires.

Il suffit d'établir cette réciproque dans le premier cas; car, si les angles alternes-externes sont égaux, ou si les angles