LIVRE I. — LA LIGNE DROITE
aux chacun à chacun, que ces angles soient ou non adjacents au côté égal.
73. Deux triangles ABC, A'B'C, qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, ont leurs angles égaux chacun à chacun.
En effet, deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires étant égaux ou supplémentaires, on a
A — A' ou A -H A' = 2«f,
B = B' ou B + B'==:2«f,
C=rC'
ou
On ne peut donc faire que les trois hypothèses suivantes:
A + A'=2«^, B-hB'=:2^, C4-C'r=2^
B=:B', et, par suite (72), C = C.
Or, dans le premier cas, la somme des angles des deux triangles vaudrait 6 angles droits; dans le second cas, cette somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A -h A' = 2 A. La troisième combinaison est donc seule possible.
THÉORÈME
74. La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ABCDEF est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés m,oins deux {fig* 5o).
En joignant l'un des sommets A à tous les sommets non adjacents, on décompose le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deu^L; car chaque triangle contient uri seul côté du polygone, excepté les deux triangles extrêmes,
qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme (les angles du polygone est égale à celle des angles de tous ces triangles; elle vaut donc autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux.
SCOLIE
75. Si l'on désigne par/i le nombre des côtés du polygone, la somme de ses angles aura pour expression, en prenant l'angle droit pour unité,
i{n — 2) ou 2/1 — 4.
Si l'on fait dans la formule précédente n == 4, on trouve 4 pour la somme cherchée. La somme des angles d'un quadrilatère est donc égale à quatre angles droits ; d'où il suit que, si un quadrilatère a tous ses angles égaux, chacun de ces angles est droit.
Corollaire.
76. La somme des angles qu'on forme à l'extérieur d' un polygone convexe, en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quatre angles droits {Jig. 5i).
En effet, la somme d'un angle extérieur quelconque NAG et de l'angle intérieur adjacent FAB est égale à deux angles droits; donc, la somme des angles, tant intérieurs qu'extérieurs, du polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de sommets ou de côtés. Cette somme surpasse donc de quatre angles droits (75) la somme des angles intérieurs : en d'autres termes, la somme des angles extérieurs est égale à quatre angles droits.
