Dans tout parallélogramme

1^ Les côlés opposés sont égaux deux à deux; 2° Les angles opposés sont égaux deux à deux; 3*^ Les diagonales se coupent m,utuellement en deux parties égales.

Soit le parallélogramme ABCD {Jig. 57).

i*^ Deux côtés opposés quelconques AB et CD, par exemple, sont égaux entre eux; car ce sont, par hypothèse, deux droites parallèles comprises entre deux autres droites parallèles AD etBC(64).

2° Deux angles opposés quelconques, DAB et BCD, par exemple, sont égaux entre eux; car ils sont formés par des côtés parallèles deux à deux et de sens contraires (66, 2°). AB et CD sont en effet parallèles et de sens. contraires, et il en est de même de AD et de CB.

3° Chacune des diagonales AC et BD est coupée par l'autre, au point 0, en deux parties égales. En effet, les deux triangles AOB, DOC ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : le côté AB égal au côté DC, comme côlés opposés du parallélogramme; l'angle OAB égal à l'angle OCD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées par AC; et l'angle OBA égal à l'angle ODC, comme alternesinternes par rapport aux mêmes parallèles coupées par Bl).

Fig. 57. Fig. 58.

Les triangles AOB, DOC sont donc égaux. Par suite., le côté OB, opposé à l'angle OAB, est égal au côté OD opposé à l'angle OCD, et le côté OA opposé à l'angle ()I5A est égal au côté OC opposé à l'angle ODC.

IVRE I. — LA LIGNE DROITE

THÉORÈME