Un quadrilatère convexe est un parallélogramme

i*' Si ses cotés opposés sont égaux deux à deux ;

2*^ Si ses angles opposés sont égaux deux à deux ;

S*' Si deux cotés opposés sont à la fois égaux et parallèles;

4*^ Si ses diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.

Soit le quadrilatère ABCD {fig. 58).

1° Menons la diagonale AC. Les deux triangles ABC, ADG sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, savoir : AC commun, AB et CD égaux entre eux par hypothèse, ainsi que AD et BC. Par suite, l'angle BAC opposé à BC est égal à l'angle ACD opposé à AD ; et comme ces angles occupent, par rapport aux deux droites AB et CD et à la sécante AC, la position d'alternes-internes, les deux côtés AB et CD sont parallèles (61). De même, l'égalité des angles BCA et CAD entraîne le parallélisme des deux autres côtés AD etBC. Donc, le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux esl un parallélogramme.

1° Les angles opposés A et C étant égaux entre eux, ainsi que les angles B et D {fig- 59), on voit que deux angles con-

Fig. 59.

sécutifs quelconques, B et C par exemple, ont une somme égale à la moitié de la somme des angles du quadrilatère, c'est-à-dire à deux droits. Ces deux angles B et C étant supplémentaires, et, de plus, intérieurs d'un même côté par rapport aux deux droites AB et CD coupées par BC, ces mêmes droites sont parallèles (61). On démontrerait de même que, les angles A et B étant supplémentaires, les deux autres côtés opposé.% AD et BC, sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.

3° Soient AB et CD les deux côtés opposés que l'on suppose égaux et parallèles (y?^>^. 58). En menant la diagonale AC, on forme deux triangles ABC, ADC, qui ont un angle égal enlre deux côtés égaux, savoir : l'angle BAC égal à l'angle ACD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CI) coupées par AC; le côté AB égal au côté CD par hypothèse, et le côté AC commun. De l'égalité des triangles ABC, ADC, résulte celle des angles ACB et CAD; et comme ces angles sont alternes-internes par rapport aux deux droites AD et BC coupées par AC, ces mêmes droites sont parallèles. Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.

4** Puisqu'on suppose OA = OC et OB =: OD {fig. 67), les angles AOB et COD étant d'ailleurs opposés par le sommet, les deux triangles AOB, COD, sont égaux. Donc, l'angle OAB est égal à l'angle OCD. D'ailleurs, ces angles étant alternesinternes par rapport aux droites AB et CD coupées par AC, les côtés opposés AB et Cl) sont parallèles. De l'égalité des triangles AOD, BOC, on déduirait pareillement l'égalité des angles OAD, OCB et, par suite, le parallélisme des deux autres côtés opposés AD et BC. Le quadrilatère ABCD, ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est donc un parallélogramme.

THÉORÈME

8L Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont égales {fig. 60).

Fiir. 60.

D'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux (80, 2°). En second lieu, les deux triangles DAB, CAB, par exemple, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : l'angle droit DAB égal à l'angle droit CBA, le côté AB com-