LIVRK I. — LA MUNK DROITE

mun, el le côté AD égal au côté BG, comme côtés opposés d'un parallélogramme; donc, les diagonales AC et BD, hypoténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, soni

égales.

82. Réciproqukment, tout parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle {fig. 60). Car les triangles DAB, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois côtés égaux : donc, l'angle DAB est égal à l'angle CBA, et comme chacun d'eux est égal à son opposé, on voit que le parallélogramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, est un rectangle.

THÉORÈME

83. Tout losange est un parallélogramme dont les diagonales sont : 1° perpendiculaires l'une sur l'autre; 2" bissectrices des angles opposés {fig. 61).

D'abord, tout losange est un parallélogramme, piiisque ses côtés opposés sont égaux.

Fig. 6t.

En second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, puisque les quatre côtés d'un losange sont égaux, la diagonale BD, qui passe par le milieu 0 de la diagonale AC, est à Ila fois perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B et D. Pour une raison analogue, la diagonale AC est bissectrice des angles A et C.

84-. Réciproqukment, tout parallélogramme est un losange : 1° si ses diagonales sont perpendiculaires l'une sur l'autre; 2° si l'une d'elles est bissectrice des angles dont elle unit les sommets,

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( !'• Partie). 4

5o GÉOMÉTRIE PLANE.

En effet :

Dans le premier cas, les quatre côtés sont égaux comme hypoténuses de quatre triangles rectangles égaux.

Dans le second cas, AC étant, par exemple, bissectrice des

angles BAD, BCD, les triangles ABC, ADG sont égaux; on a

donc