AB = AD, CB=:CD

Mais, ABCI) étant un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux.

Donc enfin les quatre côtés sont égaux.

THÉORÈME

85. Tout carré est un parallélogramme dont les diagonales sont égales, perpendiculaires entre elles et bissectrices des angles opposés; réciproquement, tout parallélogramme est un carré lorsque ses diagonales sont : i° égales et perpendiculaires entre elles; 2° égales, l'une d'elles étant en outre la bissectrice des angles dont elle unit les sommets.

Le carré étant à la fois un rectangle et un losange, cet énoncé est évident d'après les propositions démontrées du

n° 81 au n° 84.

SCOLIE

86. Remarquons, en terminant ce Chapitre, que si, par les divers points d'une droite A, on mène des droites AA', BB', MM', . . . égales, parallèles et de même sens, le lieu des extrémités A/, B', M', . . , de ces droites est une parallèle à la droite A.

Cela résulte de ce que AA'B'B, AA'M'M étant (80, 3°), en vertu de l'hypothèse, des parallélogrammes, les droites A'B' et B'M' sont une même droite indéfinie parallèle à A.

En particulier, le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite ùi. se compose de deux parallèles à A situées de part et d'autre de cette droite.

Enfin, le lieu des points équidistants de deux droites parallèles est une droite parallèle aux deux premières.