PB

point M est (102) à la fois le milieu de l'arc EMF que soustend la corde EF, et le milieu de l'arc GMH que sous-tend la corde GH; on a donc

arc EM = arc FM, arc GM = arc HM ;

d'où, en soustrayant membre à membre,

arc EM — arc GM = arc FM — arc HM,

c'est-à-dire

arcEG = arcFH.

2° Supposons (Jig. 79') que les parallèles AB et CD soient l'une sécante et l'autre tangente. Alors le rayon OK, qui aboutit au point de contact, est (107, 110) une perpendiculaire commune à la tangente CD et à la corde EF qui lui est parallèle; il divise donc l'arc EKF, sous-tendii par cette corde, en deux parties égales, et l'on a

arc EK = arc FK.

3° Supposons enfin {fig.']^") que les deux parallèles AB et CD soient tangentes, l'une en 1 et l'autre en K. Les deux rayons 01 et OK, respectivement perpendiculaires à AB et à CD, seront dans le prolongement l'un de l'autre, puisque des droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Les deux arcs KPI, KQI, sont donc égaux l'un et l'autre à une demicirconférence.