LIVRE II

LA CinCONFÈRF.NGE DE CERCLE.

THÉORÈME

116. Par trois points A, B, C, non situés en ligne droite, on peut toujours faire passer une circonférence, et l'on ne peut m faire passer quune {fig. 80).

iS- 80.

Fig. 8o\ A

Il s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé à la même distance des trois points donnés A, B, C.

Or, tout point équidistant de A, B, C, doit se trouver sur la perpendiculaire DE élevée sur le milieu de AB, parce qu'elle est le lieu des points équidistanls de A et de B; il doit aussi appartenir à la perpendiculaire FG élevée sur le milieu de BC, parce qu'elle est le lieu des points équidistanls de B et de C. Comme deux droites DE, FG, ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistant des points A, B, C. En second lieu, un tel point existe toujours si, conformément à notre hypothèse, les points A, B, C, ne sont pas en ligne droite; car, les deux droites AB et BC se coupant, les droites DE et FG, qui leur sont respectivement perpendiculaires, doivent se rencontrer en un certain point 0.

Le cercle décrit de ce point O comme centre, avec l'une des trois droites égales OA, OB, OC, pour rayon, passe par les points A, B, C, et est le seul qui puisse y passer.

On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide en disant : Trois points, non en ligne droite, déterminent un* circonférence.

Corollaires.

117. La démonstration précédente prouve que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle ABC

passent par un même point. On en conclut immédiate ment que les trois hauteurs d'un triangle ABC {fig* 80'), c'est-à-dire les perpendiculaires AD, BE, CF, abaissées des sommets sur les côtés opposés, passent par un même point.

Il suffit pour cela de montrer que ces trois hauteurs sont perpendiculaires sur les milieux des côtés du triangle A'B'C formé en menant par les sommets du triangle primitif ABC des parallèles aux côtés opposés. Or, d'une part, la hauteur AD, perpendiculaire à BC, l'est aussi à sa parallèle B'C^• et, d'autre part, les longueurs AB' et AC sont égales entre elles, puisqu'elles sont respectivement égales à BG comme parallèles comprises entre parallèles.

118. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans coïncider; d'où il suit que deux circonférences distinctes ne peuvent avoir plus de deux points communs.

Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on dit qu'elles se coupent ou qu'elles sont sécantes.

Lorsque deux circonférences n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes; le point commun est appelé point de contact.

THÉORÈME

119. Lorsque deux circonférences se coupent, la droite 00' qui joint leurs centres est perpendiculaire sur la corde commune AB et divise cette corde en deux parties égales {fig.m.

En effet, la perpendiculaire élevée sur la corde commune AB par son milieu I doit passer par le centre de chacune des deux circonférences 0 et 0' (103).

Corollaire.

120. Supposons que, la circonférence 0 restant fixe, ainsi que le point A, la circonférence 0' tourne autour du point A,