Deux triangles ABC, A' B' G', sont semblables

i° Lorsqu’ils ont deux angles égaux chacun à chacun ;

20 Lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels ;

3° Lorsqu’ils ont les côtés proportionnels .

i° Supposons qu’on ait {Jig. r 53 )

Prenons sur le côté AB homologue de A' B' une longueur AD égale à A' B', et menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE

Fig. t 53.

est semblable à ABC ( 198), et il suffit de démontrer l’égalité des triangles ADE, A'B'C'.

Or, les angles A et A' sont égaux par hypothèse ; l’angle ADE est correspondant de l’angle ABC, qui, par hypothèse, est égal à B'; enfin, le côté AD est égal à A' B' par construction. Donc

GÉOMÉTRIE PLANE

les deux triangles APE, A'B'C', sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux.

20 Supposons qu’on ait

AB AC

prenons sur le côté AB homologue de A' B' une longueur AP égale à A'B', et menons PE parallèle à BC. Le triangle APE est semblable au triangle ABC ( 198), et il suffit de démontrer l’égalité des triangles APE, A'B'C'.

Or, la similitude des triangles ABC, ADE, donne la proportion

, 4 AB AC

qui a les mêmes numérateurs que la proportion (1); les dénominateurs AP et A'B' des deux premiers rapports étant en outre égaux par construction, il faut que AE = A'C'; les deux triangles APE, A'B'C', sont donc égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux.

3° Supposons qu’on ait

, , AB __ BC CA

prenons sur le côté AB une longueur AD égale à A'B', et menons PE parallèle à BC. Le triangle ADE est semblable à ABC (198 ), et il suffit de démontrer l’égalité des triangles APE, A'B'C'.

Or, la similitude des triangles ADE, ABC, donne la série de rapports égaux

AB BC CA