LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

Corollaires.

201. Deux triangles sont semblables ; lorsqu’ils ont leurs côtés respectivement parallèles ou respectivement perpendiculaires; car, clans l’un et l’autre cas, ces triangles ont leurs angles égaux chacun à chacun (77).

202. Deux triangles rectangles sont semblables , lorsqu’ils ont un angle aigu égal.

ScOLlES.

203. 11 résulte du n° 200 que, dans les triangles, l’égalité des angles entraîne la proportionnalité des côtés, et réciproquement. Cette propriété fondameniale, dont la découverte est attribuée à Thalès (639-548 av. J .- C. ), ne subsiste pas pour des polygones quelconques. Par exemple, un carré et un rectangle ont leurs angles égaux, et cependant leurs côtés homologuas ne sont pas proportionnels. De même, un carré et un losange ont leurs côtés proportionnels, et cependant leurs angles ne sont pas égaux.

207. Le tableau suivant, dans lequel nous avons réuni les cas d’égalité et les cas de sjmilitude de deux triangles, en les faisant correspondre un à un, permet de comparer les deux théories.

Deux triangles sont, :

égaux, 1 semblables,

lorsqu’ils ont :

i° Deux angles égaux comprenant un côté égal ;

20 Un angle égal compris entre deux côtés égaux ;

3° Les trois côtés égaux.

i° Deux angles égaux;

20 Un angle égal compris entre deux côtés proportionnels;

3° Les trois côtés proportionnels.

O11 voit que chaque cas de similitude ne renferme que deux conditions, tandis que l’égalité en exige toujours trois.

203. 11 importe en outre de remarquer le mode uniforme de démonstration que nous avons adopté au n° 200. Le procédé consiste à prendre, sur un côté du premier triangle, a

GÉOMÉTRIE l’LANE.

parlir du sommet, une longueur égale au côté homologue du second; puis à mener, par le point ainsi déterminé, une parallèle à l’un des deux autres côtés du premier triangle. On construit ainsi un triangle auxiliaire qui, d’après le lemme du n°108, est semblable au premier; et les conditions renfermées dans l’hypothèse permettent ensuite de démontrer aisément que ce triangle auxiliaire est égal au second triangle, en vertu du cas d’égalité qui correspond au cas de similitude que l’on étudie.

206. Enfin, il reste à montrer l’usage de cette théorie, c’està-dire à indiquer de quelle manière les cas de similitude interviennent dans la démonstration des théorèmes. Deux triangles semblables satisfont à cinq conditions, et chaque cas de similitude comprend deux de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu’elles sont satisfaites, les cinq soient remplies. Par suite, quand, dans une certaine figure, on aura reconnu la similitude de deux triangles par l’application de l’un des trois cas, on devra en conclure immédiatement que les trois autres conditions sont remplies, et l’on aura acquis de cette manière de nouvelles données qui permettront d’aller plus loin.

207. Cherchons, par exemple, dans quel rapport se coupent deux médianes d’un triangle ABC, c’est-à-dire les droites AJ) et BE qui joignent deux sommets aux milieux des côtés respectivement opposés (, fig . i54).

l’jg. .54.

Soit G le point commun aux deux médianes AD, BE; la droite DE est parallèle à AB (183) ; par suite, les triangles DEC,