LIVRE IM

LES FIGURES SEMBLABLES

ABC sont semblables, ainsi que les triangles CEI), AGB. D’ailleurs, E étant le milieu de AC, le rapport de similitude des deux premiers triangles est^; donc ED est égale à la moitié de AB, et le rapport de similitude des seconds triangles est aussi On a donc

DG = y AG, GE = 7 BG

ou bien

DG = jAD, GE — 7BE.

Ainsi, deux médianes quelconques se coupent en un point situé au tiers de chacune d’elles à partir du côté qu elle divise en deux parties égales.

Donc les trois médianes d’un triangle concourent en un même point.

THÉORÈME

208. Deux polygones, composés d’un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont semblables ( jig . i55).

Fîr. 1 55.

Soient ABFr FBE. EBC, CED, et A'B'F', F'B'E', E'B'C', C'E'D', deux séries de triangles respectivement semblables et semblablement disposés; le polygone ABCDEF, formé par les premiers triangles, est semblable au polygone A'B'C'D'E'I' que forment les seconds.

En effet :

i° Les angles des deux polygones sont égaux, soit comme

GÉOMÉTRIE PLANE

ongles homologues de deux triangles semblables, soit comme sommes d’angles homologues de plusieurs triangles semblables. Ainsi, les angles A et A' sont égaux comme angles homologues des deux triangles semblables BAF, B'A'F', tandis que l’angle B est égal à l’angle B' comme étant la somme des trois angles ABF, FBE, EBC, respectivement égaux aux trois angles A'B'F', F'B'E', E'B'C', qui composent l’angle B'.

20 Les côtés homologues sont proportionnels, car on a successivement :

A cause des triangles semblables ABF, A'B'F',

AB ~ TT ~ TF’

A cause des triangles semblables BFE, B'F'E',

BF “ TF ~ EB ’

A cause des triangles semblables EBC, E'B'C',