LIVRE I. — LA LIGNE DROITE

angles BAE, EAG est le complément de l’autre. Deux angles qui ont des compléments égaux sont égaux.

Deux angles sont dits supplémentaires lorsque leur somme est égale à deux angles droits. Deux angles qui ont des suppléments égaux sont égaux.

THÉORÈME

16. Deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires si leurs côtés extérieurs AG et CB sont en ligne droite

: (. fig • l3)-

Fiff. 1 3.

En effet, si CD est perpendiculaire sur AB, le théorème est évident, puisque les angles adjacents ACD, BCD sont droits tous les deux.

Si CD est oblique sur AB, les deux angles ACD, BCD sont inégaux; soit ACD le plus grand. La perpendiculaire CE, élevée au point C sur AB, tombera dans l’intérieur de cet angle et le décomposera en deux autres ACE et ECD. On aura donc

ACD h- BCD == ACE -h ECD -h BCD.

Or l’angle ACE est droit, et la somme ECD -h BCD est égale à l’angle droit BCE. Donc enfin

ACD -h BCD = 2 angles droits.

17. 11 résulte de ce théorème que, pour avoir le supplément BCD d’un angle ACD, il suffit de prolonger l’un des côtés AC au delà du sommet.

18. Réciproquement, si deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs AC et BC sont en ligne droite.

Car le prolongement de AC doit former avec CD (17) un

GÉOMÉTRIE TLANE.

angle égal au supplément de ACD, c’est-à-dire, à cause de l’hypothèse, un angle égal à BCL); le prolongement de AC ne diffère donc pas de BC.

19. La somme de tous les angles consécutifs A BD, DBE, EBF, FBC, que Von peut former autour du point B d’une droite AC, d’un même côté de cette droite , est égale à deux angles droits {Jig. 1 4 ) ; car leur somme est évidemment la même que celle des deux angles adjacents ABF, FBC.

20. La somme de tous les angles consécutifs AOB, BOC, COD, DOE, EOA, que Von peut former autour d’un même point O, est égale à quatre angles droits [fig. i5); car en prolongeant OC, par exemple, suivant OC', on voit que cette somme équivaut à celle des angles C'OA, AOB, BOC, situés d’un côté de CC', plus celle des angles COD, DOE, EOC', situés de l’autre côté; et l’on vient de prouver que chacune de ces deux sommes partielles est égale à deux angles droits.

THÉORÈME

21. Lorsque deux lignes droites AB, DE se coupent , les angles opposés par le sommet sont égaux ( jig . 16 ).

Fig. j6.

Soient, par exemple, les deux angles opposés AOE, DOB.