F. IVRE I

LA LIGNE DROITE

Le premier ÀOE a pour supplément l’angle AOD formé par le côté AO et le prolongement OD du côté OE. Le second BOD a aussi pour supplément l’angle AOD, qui peut être considéré comme formé par le côté OD et le prolongement OA du côté BO. Les deux angles AOE, DOB, ayant même supplément AOD, sont égaux entre eux.

22. Lorsque l’un des quatre angles formés par la rencontre de deux droites indéfinies AB et CD est droit , les trois autres sont aussi droits ( fig . 17); car, de ce que l’angle AOC, par exemple, est droit, il résulte que son opposé DOB doit l’être, ainsi que chacun de ses suppléments AOD et COB.

On voit par là que :

Lorsqu une droite AO est perpendiculaire sur une autre droite CD, son prolongement OB est aussi perpendiculaire sur la même droite;

Si une droite AB est perpendiculaire sur une autre CD, la seconde est à son tour perpendiculaire sur la première.

23. On nomme bissectrice d’un angle la droite qui menée par le sommet divise cet angle en deux parties égales.

Par un raisonnement identique à celui du n° 13, on voit que tout angle AOD (fig. 18) a une bissectrice OF, mais une seule.

Les bissectrices OE, OF de deux angles adjacents et supplémentaires AOC, AOD sont perpendiculaires Lune à l'autre ; car la somme des deux angles AOC, AOD étant égale à deux angles droits, celle des angles AOE, AOF, qui sont respectivement moitié des premiers, est égale à un angle droit.

Les bissectrices OF et OF' de deux angles opposés par le sommet AOD et BOC sont dans le prolongement l’une de l’autre ( fig . 18); car chacune d’elles doit être perpendiculaire au point O sur la bissectrice OE de l’angle AOC qui est adjacent et supplémentaire par rapporta chacun des angles considérés AOD et BOC.

Il résulte de là que les bissectrices des quatre angles déterminés par la rencon tre de deux droites AB et C\) forment deux droites indéfinies EE' et FF', à angle droit l’une sur l’autre.

GÉOMÉTRIE FLANE.

THÉORÈME

23k Par un point O pris hors d’une droite AB, on peut toujours abaisser une perpendiculaire sur cette droite , et l’on ne peut en abaisser qu’une ( fig . 19).

Fig. 19.

I li

Désignons par O' le point sur lequel vient s’appliquer le point O, lorsqu’on plie la figure autour de la droite AB, de manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie inférieure. Joignons aux points O et O' un point quelconque I de la droite AB. Les angles adjacents OIB, O'I B seront égaux; car, si l’on pliait de nouveau la figure autour de AB, O venant sur O' et I restant fixe, le premier angle recouvrirait exactement le second. D’après cela, pour que la droite 01 soit perpendiculaire sur AB, c’est-à-dire pour que l’angle OIB soit droit, il faut et il suffit que la somme des deux angles adjacents égaux OIB, O'I B soit égale à deux angles droits; et, par suite, que leurs côtés extérieurs 10, 10' soient en ligne droite. Donc enfin, comme entre 0 et 0' il existe toujours une droite, et une seule, on voit que du point 0 on peut toujours mener une perpendiculaire sur AB, mais une seule.

ScOLIE.

25. Deux points 0 et 0' sont dits symétriques par rapport à une droite AB, lorsque cette droite est perpendiculaire sur le milieu de 00'; d’après la démonstration ci-dessus, on amène les deux points l’un sur l’autre en pliant le plan de la figure autour de la droite AB.

Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite lorsque leurs points sont deux à deux symétriques par rapport à cette droite.