LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

Corollaires.

223. Ce théorème permet de calculer l’un des côtés d’un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.

Si l'on connaît les deux côtés b et c de l’angle droit, l’hypoténuse a résulte de la formule

a2— b2- h c2, d’où a = sJ ù2-f- c2.

Ainsi, soient b — 3, c — 4, on a a — sJ 9 -+- 16 = v/^5 = 5.

Si i'011 connaît l’hypoténuse a et l’un des côtés b de l’angle droit, on trouve l’autre côté c par la formule

c2=a2 — b 2, d’où c = \]d2—b-.

Ainsi, pour a = 5 et b = 3, on a c — s/i5 — 9 = yùB = 4.

Il résulte encore de la proposition précédente que le rapport de la diagonale d'un carré au côté de ce carré est égal

Fig. 162.

à \!i. La diagonale AC est en effet l'hypoténuse d’un triangle rectangle et isocèle ABC (Jig. 162), dans lequel 011 a

AC — Ali -t-BC — 2. AB

d’où

AC AC i -

2 et -7-77 = y2*

AB

AB

Ainsi, la diagonale et le côté d’un carré sont deux droites incommensurables entre elles, puisque leur rapport est un nombre incommensurable. C’est ce que nous avons déjà démontré par la Géométrie pure (139).

THÉORÈME

22G. Dans tout triangle, le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres

GÉOMÉTRIE PLANE

côtés , moins deux fois le produit de l’un de ces côtés par la projection du second sur le premier.

Soient. ABC le triangle proposé, C un angle aigu et CD la projection du côté AC sur CB; il s’agit de démontrer la relation

AB2 = BCf -+- AC — 2BC.CD.

Deux cas peuvent se présenter, suivant que la perpendiculaire AD tombe à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle ABC; le premier cas a lieu lorsque l’angle ABC est aigu, et le second lorsque cet angle est obtus (44).

Dans le premier cas [fig. 1 63 ) , le triangle rectangle ABD donne

(i) abj=5dV âd\

Or, puisque le point D est, par hypothèse, situé entre C etB, on a