LIVRE III

Dans le second cas ( fig . i63'), la démonstration est la même. Il est vrai que, au lieu de

BD = BC — CD, on a BD = CD-BC;

mais comme, en vertu du théorème d’Arithmétique cité, le carré de BD reste le même, et que c’est ce carré seul qui figure dans la démonstration, on voit que tout le raisonnement subsiste.

THÉORÈME

227. Si l’un des angles d’un triangle est obtus , le carré du côté opposé à cet angle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, plus deux fois le produit de l’un de ces côtés par la projection du second sur le premier ( fig . i64).

Fig. 164

Soient ABC le triangle proposé, C l’angle obtus, et CD ia projection de AC sur BC; il s’agit de démontrer la relation

ÂB = BC2 4- ÂC2 -h 2 BC . CD .

Le triangle rectangle ABD donne

(1) ABa=BD+ÂD.

Or, puisque l’angle ACB est obtus, la perpendiculaire AD tombe hors du triangle ( kk , et le point D est extérieur à BC ; on a donc

BD — BC -l- CD,

et, par suite, en vertu d’un théorème connu d’Arithmétique (*),

BD*= BC*+ CD 2 -H aBC*CD.

EnsubstituantcettevaleurdeBD dansla relation (1), ontrouve AB = BC 2 -f- CD * -F AD V 2BC.CD;

(l) Le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier, plus le carré du second, plus le double produit de ces deux nombres.

GÉOMÉTRIE PLANE

et, comme le triangle rectangle ACD donne

cd2+âd2=âc\

on a finalement

AB2=:BcVÂCJh- 2BC.CD*

Corollaires.

228. il résulte des trois théorèmes précédents que, dans un triangle , le carré d’un côté est inférieur, égcd ou supérieur à la somme des carrés des deux autres, suivant que l’angle opposé a ce côté est aigu, droit ou obtus ; donc, réciproquement (7), un angle d’un triangle est aigu, droit ou obtus, suivant que le carré du côté opposé à cet angle est inférieur, égal ou supérieur ci la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si a~5, b = 4, c = 3, l’angle A est droit et le triangle est rectangle, puisque 25 = 16 4 9. De meme, si a = 11, b == 9, c= 8, l’angle A est aigu, puisque n2 ou 121 est moindre que 9-4- 8% c’est-à-dire que 81 4- 64 = i4 5.

229. Comme application des théorèmes qui précèdent, nous allons calculer les hauteurs d’un triangle en fonction des côtés. Nous désignerons par ABC le triangle considéré, et par a , b , c , les longueurs des côtés respectivement opposés aux angles À, B, C.

Cherchons la hauteur ÀD = h issue du sommet A. Des deux angles B et C, l’un au moins est aigu; supposons que ce soit l’angle C [fig. iG3'). On a d’abord, dans le triangle rectangle ADC (225),