L\CV

4 cé

4 cr

Or, si l’on désigne par p le demi-périmètre du triangle ABC, c’est-à-dire si l’on pose

fl+i+C = 2/7,

on a

b -h c — a = 2 /7 — in = i[p — «),

«+C — & = 2/7 — il) = 2 (/7 — b ) , a b — C = 2/7 — ' 2C = 2(/7 — c).

En portant ces valeurs dans l’expression de A2, simplifiant et extrayant la racine carrée, on obtient

h = -m/j — «) lA» ~ £)(/•> - <-*).

Exemple. Pour les hauteurs A, /f , //', du triangle dont les côtés sont 1 3 , 9 et 6, on trouve, à i millième près,

THÉORÈME

230. La somme des carrés de deux côtés d’un triangle est égale à deux fois le carré de la médiane relative au troisième côté9 plus deux fois le carré de la moitié de ce troisième côté

(fis- l65}-

Fig. i65.

Soient ABC le triangle proposé, AI ) la médiane relative au côté BC, et AE la perpendiculaire abaissée du point A sur BC.

(') La différence des carrés de deux nombres est égale au produit de la somme de ces deux nombres par leur différence.

GÉOMÉTRIE PLANE

L’ongle ADB étant aigu, on a, dans le triangle ADB,

ÂB=Xd -hBD- 2BD.DE.

L’angle ADG étant obtus, on a, dans le triangle ACD,

Ig2=ÂD -}- CD -l-aCD.DE.

En ajoutant ces deux égalités et en observant que CD = BD, on trouve

(1) AB -t-AC*=2AD H- 2 BD .

Corollaires.

231. Considérons un quadrilatère ABCD [fg. 166), et soient E et F les

Fig. î66.

milieux des deux diagonales AC et BD. En appliquant successivement le théorème qui précède aux triangles ABC et ADC, on a

AB -F- BC2 = 2Â E -f- im ,

CL)" —H DA.” = aÂE h- aDË2;

d’où, en ajoutant et en désignant par S la somme des carrés des quatre côtés du quadrilatère,

S = 4ÂË,-+-a(BÊa-f-DË2).

Or, dans le triangle BED, on a