AD* -+- 2 BD

On voit que le lieu n’existe qu’autant que la condition

est satisfaite.

BD

ou K > BD \J'i

233. Enfin, comme dernière application du théorème précédent, nous calculerons les médianes d’un triangle en fonction des côtés. m étant la médiane relative au côté BC = c/, on a, par la relation (i),

b'1 c2 = im7 -f- i

Exemple. Pour les médianes m, ml , m", du triangle dont les côtés sont i3, 9 et 6, on obtient, à i millième près,

THÉORÈME

23k. La différence des carrés de deux côtés d'un triangle est égale au double produit du troisième côté parla projection de la médiane correspondante sur ce même côté.

Soit ABC le triangle proposé ( fig . i65); reprenons les deux égalités

ÂB2 — Âi) + BÏ) — 2BD.DE,

AC = AD' -h CD " -t- 2CD. DE,

GÉOMÉTRIE PLANE

considérées au n° 230, et retranchons la première de la se» conde, en observant que BD = CD ; il viendra

ÂC2 — ÂB2= 4BD.DE ou AC' — Âb’'’ = 2BC.DE,

Corollaire.

233. Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de

façon que la différence AC — AB reste constante, la relation précédente prouve que la projection DE de la médiane ne change pas , c’est-à-dire que la projection E du sommet mobile A sur la droite BC reste fixe. Donc,

le lieu des points A, dont la différence AC — • AB des carrés des distances h deux points fixes C et B est constante, est une droite perpendiculaire à la droite BC qui unit les deux points fixes. D’ailleurs, pour avoir la

valeur de DE, il suffit de remplacer dans la relation qui précède la dif-

férence AC — ÀB par la constante donnée K2 ; on a ainsi successivement