LIVRE

LES Fl G LUES SEM RLABIÆS.

droites A et B, CO' leur moyenne arithmétique et GO' leur demi-différence. Comme le côté CG est moindre que l’hypoténuse CO', on voit que la moyenne géométrique est moindre que la moyenne arithmétique. Appelons o leur différence; ie triangle O' CG donne

or, les moyennes CO' et CG sont toutes deux supérieures à la plus petite B des deux lignes proposées; on a donc

d’où

Ainsi, la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux longueurs A et B est moindre que le carré de la différence de ces longueurs , divisé par huit fois la plus petite.

250. Pour mettre en équation un problème de Géométrie, il suffit de concevoir que toutes les longueurs soient rapportées à une meme unité, sans qu’il soit besoin de fixer cette unité commune, qu’on laisse, au contraire, indéterminée. Les raisonnements étant indépendants du choix de cette unité, c’est-à-dire de l’échelle à laquelle a été construite la figure que l’on a sous les yeux, si les raisonnements et les calculs sont justes, l’équation à laquelle on parvient doit pouvoir supporter, sans altération, un changement dans un même rapport de toutes les données linéaires, les données angulaires restant les mêmes. En d’autres termes, l’équation doit être homogène, c’est-à-dire telle qu’en y multipliant par utï même nombre chaque lettre exprimant la mesure d’une longueur, ce nombre disparaisse de lui-même

Si V inconnue est une longueur, la formule qui exprime sa mesure doit donc être homogène et du premier degré; construire cette formule, c’est trouver la longueur inconnue par des opérations graphiques exécutées sur les longueurs dont les mesures entrent dans la formule. Nous allons montrer qu'on peut construire , à i ’ aide de la règle et du compas , toute exprès-

GÉOMÉTRIE I>L ARE

sion ra/ionnelle ou ne renfermant d'autres irrationnelles que des radicaux ayant une puissance de 2 pour indice.

Pour plus de clarté, nous représenterons les longueurs par des lettres majuscules et les nombres qui les mesurent parles lettres minuscules correspondantes.

i° Si la formule est de la forme

x — a -h b — c + rl — e,

on portera, à l’aide du compas, à partir d’un point O, sur une droite fixe, les unes à la suite des autres, d’abord les longueurs A et B dans un même sens, puis G en sens contraire, D dans le sens primitif, enfin E en sens contraire; M étant l’extrémité de cette dernière, la longueur OM sera la longueur inconnue X. 20 S’il s’agit d’un monôme fractionnaire

A~~ bibfbf

(le nombre des facteurs du numérateur surpassant d’une unité celui du dénominateur), on écrira

G __ Ai G, __ A, X A 3

en sorte que X s’obtiendra en construisant une suite G, C,, X de quatrièmes proportionnelles.

3° Le procédé précédent ne suppose pas qu’au numérateur, comme au dénominateur, les facteurs soient inégaux. Il résulte de là que, p étant un monôme quelconque de degré k et u la mesure d’une longueur U donnée, on peut toujours construire une longueur A, telle que

a — -y— , ou p = uk~'.a.

uk~{ 1

Gela posé, soit une fonction rationnelle quelconque (homogène et du premier degré)

+ — + qo—f/t+q.