LIVRE III

— LES FIGURES SEMBLABLES. l55

l> 0,/>i, jh, fh désignant des monômes de degré quelconque//, et q0, q{, q 2 des monômes de degré k — i . U étant une longueur {irise à volonté, on construira d’abord des longueurs A0, A,, A3. A3, I>9, Bi, B2, telles que Ton ait

fo = nk~ 1 . at, p , — u*~ ' .ci\, p7— u'—2 . a2, pA = «*-» . ,

— uk~2. b o , q i — uk~~7 . b , , q -t ~ n /,~2 . è ;

on aura alors

^ uk~'2[h0— b{~ h ù2) K bu— 6, -h ô2

et enfin, en désignant par S et T les longueurs

S = A„4- A, — A 2 -h A 3, T = Bo— B, 4- B„

i! viendra

en sorte que X s’obtiendra par une quatrième proportionnelle à T, S et U.

4° Considérons maintenant les expressions irrationnelles. Soit le radical du second degré

où p et q désignent des expressions entières et homogènes l’une de degré k, l’autre de degré k — i. U étant une longueur prise à volonté, on construira d’abord deux longueurs A et B telles que l’on ait

On aura dès lors

p = uh~ 1 . a ,

q — uh~\b.

X sera donc la moyenne proportionnelle entre U et une longueur L quatrième proportionnelle à B, A et U.

Si l’indice du radical était une puissance de a supérieure a la première, la quantité sous le radical étant une fonction rationnelle et homogène de même degré que cet indice, on

GÉOMÉTRIE PLANE

remplacerait ce radical par une suite de radicaux du second degré superposés. Soit, par exemple,

x — \j ci* — b' ;

on déterminera, au moyen de quatrièmes proportionnelles successives, une longueur C, telle que

on aura alors

ci* — bz .c

et X s’obtiendra en construisant deux moyennes proportionnelles successives.

251. On peut avoir à construire une formule non homogène provenant de ce que l’on prend l’une A des lignes! de la figure pour unité ; il faut alors commencer par rétablir V homogénéité ; c’est-à-dire par chercher la formule qui remplacerait la proposée, si l’on avait laissé l’unité arbitraire.

Or, soit a le nombre qui mesurerait la longueur À (prise d’abord pour unité) si l’on adoptait une autre unité U d’ai !-' leurs arbitraire. Soient b> c, . . ., les mesures des autres longueurs B, C, . . ., l’unité étant A, et b’ , c1, . . ., leurs nouvelles mesures, l’unité étant U. Puisque le rapport de deux grandeurs est toujours égal au quotient des deux mesures quelle' que soit l’unité commune, on a

11 suffira donc de remplacer, dans la formule donnée, b, c, . . . par ces valeurs, ou plus rapidement, en supprimant les ac-

cents, de remplacer b. c, . . . , par - > - >

Par exemple, si l’on donne la formule