LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

de Xr, et une seule, pour laquelle on a

(2) xTa = x7]] 011 XA=AB-XB-

3° Que sur le prolongement de AB à droite du point B, il ne peut exister aucun point jouissant do la propriété énoncée. Car la distance d’un point de cette région au point A, étant à la fois plus grande que la distance du point considéré au point B et que la ligne AB, ne saurait être moyenne proportionnelle entre ces deux longueurs.

Ainsi, sur la droite indéfinie qui unit les points A et B, il existe deux points X et X', et rien que deux, qui divisent la droite AB en moyenne et extrême raison : l’un X intérieur, et les deux segments correspondants XA, XB, sont alors additifs ; l’autre X' extérieur, et les deux segments correspondants X'A, X'B, sont alors soustractifs.

Pour déterminer ces deux points X et X', il suffit de trouver AX et AX'. Or, d’une part, si l’on retranche la relation (i) de la relation (2), on a

X'A 2 — XÂJ^AB(X'B — XB), ou

(X'A + XA)(X'A — XA)== AB(X'B-XB), c’est-à-dire