SM. SN = SM. SI

lit

Le second membre de cette égalité étant égal à la puissance du point S par rapport au cercle B (193), multipliée par le rapport des rayons des cercles A et B, est constant; il en est donc de même du premier membre, c’est-à-dire de la puissance du point S par rapport au cercle variable O.

Ce théorème et sa démonstration subsistent quand l’un des cercles donnés, A par exemple, est remplacé par une droite D. Seulement, le centre de similitude S est, dans ce cas, remplacé par l’une des extrémités du diamètre du cercle B qui est perpendiculaire à la droite D.

GÉOMÉTRIE PLAISE

PROBLEME

2G2. Décrire une circonférence passant par deux points donnés et tangente soit à une droite donnée , soit à un cercle donné.

i° Soient A et B {fig. i83j) les deux points donnés et KL la droite donnée. Prolongeons AB jusqu’au point G ou elle rencontre KL. Si T est le point où le cercle inconnu O touche cette droite KL, CT sera la moyenne proportionnelle (195) entre les deux droites connues CB et CA. De là, cette construction :

Menez AB qui coupe KL en C; déterminez la moyenne proportionnelle entre CB et CA, et portez-la en CT sur la droite

CL. Elevez la perpendiculaire TO sur KL et la perpendiculaire 00' sur le milieu de AB; le point 0 commun à ces deux perpendiculaires sera le centre du cercle cherché.

En portant la moyenne proportionnelle en CT' à gauche de C, on a une seconde solution.

Si AB était parallèle à KL, le point de contact serait sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB, et il n’y aurait qu’une solution.

Enfin, il est évident que le problème n’est possible que si les points A et B sont situés d’un même côté de la droite KL.

2° Soient B et C les deux points donnés et 0 la circonférence donnée {fig. i832). Supposons le problème résolu, et désignons par A le point où le cercle demandé 0' touche le cercle 0; tout revient à trouver le point M où la tangente AM rencontre la droite BC prolongée. Or, si l’on mène par B et C une circonférence auxiliaire quelconque qui coupe la circon-

LTV RK III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 1 69

férence 0 en deux, points D et E, la corde DE prolongée passera par M. En effet, désignons un moment par s le point où la droite MD coupe la circonférence O; on aura

MD .Me = MA' = MD .MC.

Donc ( 194) le point e est sur le cercle déterminé par les trois points C, B, D, c’est-à-dire sur la circonférence auxiliaire; il ne diffère donc pas de l’intersection E du cercle O et de cette circonférence auxiliaire. On déduit de cette analyse la construction suivante :

Par les deux points B et C, menez une circonférence quelconque qui coupe la circonférence donnée O en deux points D et E; et du point M, intersection de BG et de ED, menez une tangente MA au cercle O. Le point A sera le point de contact du cercle O et du cercle inconnu, dont le centre O' se trouvera d’ailleurs à l’intersection de OA prolongée et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de BG.

La seconde tangente menée de M au cercle donné O donnera une seconde solution.

Si les points B et C étaient équidistants du centre O, les droites BG et DE seraient parallèles; il suffirait alors de mener au cercle O une tangente parallèle à BG; il y aurait encore deux solutions.

Enfin, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que M soit extérieur au cercle O, c’est-à-dire tombe sur les prolongements de la corde DE, et non entre D et E. Or, la corde DE décompose la circonférence auxiliaire DBGE en deux arcs a et a’ , dont l’un est intérieur et l’autre extérieur au cercle O. Pour que M ne soit pas situé entre D et E, il faut et il suffit que B et C ne soient pas, l’un sur l’arc a et l’autre sur l’arc a', mais bien tous deux sur l’arc a ou tous deux sur l’arc ar, c’est-à-dire que B et C soient tous deux intérieurs ou tous deux extérieurs au cercle O.

ScOLIE.

263. La détermination d’un cercle O astreint à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à toucher une droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes qu’on peut dé-

lyo

GÉ03IÉTRIE PLANE.

signer par les symboles

PPP (1 sol.), P DD (2 sol.), DDC (8 sol.),

DDD (4 sol.), PCD (4 sol.), DCC (8 sol.),

PPD (2 sol.), PCC (4 sol.), CCC (8 sol.),

PPC (2 sol.),

en représentant un point par P, une droite par D, un cercle par C. Nous avons indiqué, à côté de chaque symbole, le nombre des solutions dont le problème correspondant est susceptible.

La résolution de ces dix problèmes offre un exemple remarquable de la méthode des substitutions successives.

Les problèmes de la première colonne ont été déjà résolus (154, 161, 262); on a vu d’ailleurs (262) que les deux derniers se ramenaient au premier PPP. — Indiquons ici, en passant, une nouvelle solution du problème PPD, qui n’exige que la connaissance du Livre IL — P et P' désignant les deux points donnés, et Pi le symétrique de P' par rapport à la droite donnée D, il est aisé de constater que la droite PPi est vue des deux points de contact cherchés sous des angles qui sont respectivement égaux aux angles des deux droites D et PP'. Il suffît donc, pour avoir ces points de contact, de décrire sur PPi un segment capable de l’un de ces angles, et de marquer les intersections de la droite D et du cercle ainsi obtenu.

Le premier problème PDD de la deuxième colonne se ramène à PPD, en observant que la circonférence cherchée doit contenir le symétrique du point donné par rapport à la bissectrice de l’angle que forment les droites données et qui renferme le point donné. — Le problème PCC se ramène à PPC; car on connaît (261) le centre de similitude S des deux cercles donnés et la puissance de ce point par rapport au cercle cherché O. On peut donc déterminer le second point d’intersection de la droite PS et du cercle inconnu O. — Le problème PCD se ramène de la même manière (261) à PPD ou à PPC.

Enfin, les problèmes de la troisième colonne se ramènent respectivement à ceux qui sont placés vis-à-vis dans la deuxième colonne. La marche à suivre reste la même pour tous les trois : c’est la méthode de translation (171 ). Ainsi, pour le problème DDC, on remarquera que, si le rayon du cercle cherché augmentait ou diminuait du rayon R du cercle donné, le nouveau cercle inconnu passerait par le centre du cercle donné et toucherait les droites données déplacées parallèlement à elles-mêmes d’une quantité égale à R. — De même, s’il s’agit du problème DCC, on remplacera le plus grand des deux cercles donnés par un cercle ayant pour rayon (suivant la nature des contacts) la somme ou la différence des rayons de ces deux cercles, et l’on déplacera la droite donnée parallèlement à elle-même d’une quantité égale au rayon