VI. — POLYGONES RÉGULIERS

DÉFINITIONS

261e. Un polygone est dit régulier , lorsqu’il a tous ses côtés gaux et tous ses angles égaux. Tels sont, par exemple, le riangle équilatéral et le carré.

On nomme ligne brisée régulière toute ligne brisée convexe ni a ses côtés égaux et ses angles égaux.

THÉORÈME

265. O11 peut toujours inscrire ou circonscrire à une circonérence donnée un polygone régulier d’un nombre donné de ôtés.

Supposons la circonférence divisée en n parties égales, s étant le nombre de côtés que doit avoir le polygone. i° En menant (fig* 184) les cordes AB, BC, . . . qui unis-

Fi 184.

ent les points de division, on aura un polygone régulier incrit de n côtés. En effet, les côtés de ce polygone sont égaux omme cordes d’arcs égaux, et ses angles sont égaux comme jiscrits dans des segments égaux; car tout angle ABC du pofgone est inscrit dans un segment correspondant à deux divisons consécutives de la circonférence.

20 En menant des tangentes [fig. 184) par les points de dijision A, B, C, . . . , on aura un polygone régulier circonscrit c n côtés. En effet, dans les triangles GAB, IÏBC, .... les

GÉOMÉTRIE PLANE

côtés AB, BC, . . , sont égaux, et les angles en A, B, C,... formés par une tangente et une corde, sont aussi égaux comii^ ayant tous pour mesure la moitié d’une division de la circon férence; dès lors les triangles GAB, HBC, . . . sont isocèlei et égaux, et l’on a d’une part G = H = K = . . . , et de l’autr AG = GB = BH = HC — CK , . . . , d’où l’on déduit GH = HK = ... Ainsi le polygone GHK... a ses angles égaux et ses côté égaux.

D’après cette démonstration, pour avoir le polygone régi lier de n côtés circonscrit à un cercle, il suffit de diviser î circonférence en n parties égales et de mener des tangente par les points de division. Or, les milieux M, N, P,... de arcs AB, BC, CD,. . ., qui sous-tendent les côtés du polygon régulier inscri! {fi g* i85), divisent évidemment la circonfq rence en n parties égales. On aura donc un polygone régu lie circonscrit de n côtés en menant des tangentes par ces point; On préfère souvent cette seconde manière d’opérer, parce qi le polygone A'B'C'D',. . ., ainsi obtenu, a ses côtés parallèle à ceux du polygone inscrit ABCD. . . ., et ses sommets A', B C',. . sur les mêmes rayons O AA', OBB', . que les son mets du polygone ABCD. ... En effet, d’une part deux côt( tels que BC, B'C', sont parallèles comme perpendiculaires s J la même droite ON, et d’autre part deux tangentes telles qu MB', NB', doivent se couper (158) sur la bissectrice OB cj l’angle MON. ;

266. Réciproquement, on peut toujours inscrire et circoi scrire une circonférence à un polygone régulier donné.

Fig. i SG.

Soit ABCDEF le polygone régulier donné [fig. 186). i° Pour démontrer qu’on peut circonscrire une circon