LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

’ence à ce polygone, il suffit de prouver que la circonférence ]ui passe par trois sommets consécutifs quelconques À, 13, C, passe par le sommet suivant D. Or, soit O le centre du cercle ; déterminé par les trois points A, 13, C; menons OA, OD, et la f perpendiculaire OH sur BC. Replions le quadrilatère ABHO autour de OH; les angles en H étant droits, BH prendra la direction 1IC, et le point B tombera en G, puisque BH = HC. Mais, le polygone étant régulier, l’angle ABH est égal à Fannie HCD, comme le côté BA au côté CD; par suite, le côté BA jprendra la direction CD, et le point A tombera en D. Donc OD 5 est égal au rayon OA, et la circonférence considérée passe par 5 le point D.

? 2° Les côtés AB, BC,. . ., étant des cordes égales du cercle

(circonscrit, les perpendiculaires 00, OII,..., abaissées du centre 0 sur ces cordes, seront égales (104); donc, si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, on décrit une circonférence, chacun des côtés du polygone sera touché en son milieu par cette circonférence, alors inscrite au polygone.

Corollaires.

267. Ou nomme centre d’un polygone régulier le centre commun 0 de la circonférence inscrite et de la circonférence circonscrite. Ce point, étant à égale distance de tous les côtés et de tous les sommets, est à la fois le point de concours des bissectrices de tous les angles et des perpendiculaires élevées sur les milieux des divers côtés.

On appelle rayon d’un polygone régulier le rayon du cercle circonscrit, et apothème de ce polygone le rayon du cercle inscrit.

On nomme angle au centre d’un polygone régulier l’angle AOB de deux rayons consécutifs; cet angle est évidemment égal à l'angle GOH de deux apothèmes consécutifs, et par conséquent est le supplément de l’angle GBII du polygone régulier. D’après cela, si n est le nombre des côtés du polygone, et si l’on prend l’angle droit pour unité, l’angle au centre

vaudra - et l’angle du polygone 2 — -• On voit ainsi que, n n

sauf le triangle équilatéral dont les angles sont de 60 degrés.

GÉOMÉTRIE PLANE

et le carré dont les angles sont droits, tous les polygone: réguliers ont leurs angles obtus.

268. On prouverait, par des raisonnements identiques au)i précédents, que toute ligne brisée régulière est inscriptibh et circonscriptible, et par suite qu’elle a un centre, un apo-; thème et un rayon, qui sont le centre et les rayons des cir-j conférences inscrite et circonscrite. Une ligne brisée régulière ne diffère d’une portion de polygone régulier qu’en ce que son angle au centre n’est pas forcément une partie aliquote de quatre angles droits.

THÉORÈME

269. i° Deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont semblables .

2° Leur rapport de similitude est égal à celui de leurs rayon! ou de leurs apothèmes.

Fig. 187.

En effet :

i° Ces polygones ont les angles égaux, puisque la valeur de l’angle d’un polygone régulier ne dépend que du nombre des côtés (267), et que le nombre des côtés est le même dans les deux figures; de plus, les côtés sont évidemment proportionnels, puisque, dans l’une et l’autre figure, ils sont égaux. Donc, les polygones considérés sont semblables.

20 Soient (fîg- 187) AB le côté du premier polygone, O son centre, OB son rayon, GF son apothème; soient de même A'B' le côté du second polygone, O' son centre, O' B' son rayon, et O' F' son apothème. Les triangles rectangles BFO, B'F'OÇ sont semblables (202), puisque les angles FBO, F' B' G', sont! égaux comme moitié des angles égaux ABC, A'B'C' (267). On1 a donc