LIVRE 111. — LES FIGURES SEMBLABLES. 17a

mais, les polygones proposés étant semblables, leur rapport de similitude est égal au rapport des côtés AB, A'B', ou des demi-côtés BF, B' F'; il est donc aussi égal au rapport des rayons OB, O' B', ou au rapport des apothèmes GF, O' F'.

Scolie.

270. Supposons la circonférence divisée en m parties égales: désignons par a la longueur de l’une des parties, et joignons les points de division de p en p , à partir de Fun d’eux.

Si p est premier avec m, la circonférence ma et l’arc pa sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour plus petit multiple commun pma, et Ton reviendra au point de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou m fois l’arc pa. On aura donc formé ainsi un polygone régulier de m côtés. Par exemple, dans la fig. 190 où la circonférence est. divisée en 10 parties égales, on obtient, en joignant les points de division de 1 en 1, le décagone convexe, et enjoignant ces points de 3 en 3 un décagone régulier étoilé.

Si p et m , au lieu d’être premiers entre eux, ont un plus

grand commun diviseur 0, le plus petit multiple commun de

l’arc pa et de la circonférence ma sera a. On reviendra

alors au point de départ après avoir parcouru — fois la cir-

conférence ou -- fois l are pa; en d autres termes, on aura

formé ainsi un polygone régulier de — côtés, et non plus de m côtés.

Au premier abord, il semble résulter de là qu’il existe autant de polygones réguliers (convexes ou étoilés) de m côtés qu’il y a de nombres premiers à m dans la suite r, 2,..., ni — 1. Mais, si l’on remarque qu’en joignant les points de division de p en p, p étant premier à m, on obtient le même polygone qu’en les joignant de m — p en m — p, on voit qu’en réalité le nombre des polygones réguliers de m côtés est égal au nombre des entiers premiers à m contenus dans la suite

GÉOMÉTRIE PLANE

D’après cela, il n’y a qu’un hexagone régulier; il y a deux pentagones réguliers, deux décagones, quatre pentédécagones, etc.