LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

demandé. En menant deux rayons consécutifs OA, OB, on obtient un triangle OAB qui est isocèle, et, par suite, dons

Fig. 189.

les angles A et B sont égaux. Mais, si l’on remarque que le rayon BO prolongé passe par le sommet E de l’hexagone, on voit que l’angle inscrit ABE a pour mesure la moitié de l’arc ÀFE, c’est-à-dire une division de la circonférence; et comme l’angle au centre AOB a aussi pour mesure une de ces divisions AB, les deux angles ABO et AOB sont égaux, et le triangle OAB est équilatéral. Donc, le côté de V hexagone inscrit dans un cercle est égal au rayon R de ce cercle.

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit, d’après cela, de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon, et de joindre les points de division consécutifs ainsi obtenus.

Corollaires.

274. En joignant de deux en deux les sommets de l’hexagone, on obtient le triangle équilatéral inscrit ACE. Le triangle rectangle AC1) donne

ÂC= AÏ)2 — CD2 — 4 R2 — R2 — 3 R2,

d'où

AC — R v/3.

Ainsi, le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de

rayon R est égal à R \/ 3 ; son apothème OG est d’ailleurs égal à la moitié du rayon, car la figure ABCO est un losange.

R. et de C. — Tr. de Ge'om. ( 1“ Partie). 12

GÉOMÉTRIE PLANE

275. En menant des tangentes par les points B, D, F, on forme le triangle équilatéral circonscrit A'C'E', dont les côtés sont parallèles à ceux du triangle équilatéral inscrit ACE. Le rapport de similitude de ces deux triangles est égal (209) à OB

-T) c’est-à-dire à ?.. Ainsi, deux lignes homologues quelcon-

UIj

ques dans le triangle équilatéral circonscrit et dans le triangle équilatéral inscrit sont doubles l’une de l’autre.

276. De l’hexagone, on passe au dodécagone régulier inscrit en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les côtés de l’hexagone; on déduirait de même du dodécagone le polygone régulier de ?4 côtés,. . ., et ainsi de suite. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 3, 6, 12, 24,. . ., et, en général, de 3.2" côtés.

PROBLÈME

277. Inscrire un décagone régulier dans un cercle donné (fig* T9°)‘

Supposons le problème résolu, c’est-à-dire la circonférence divisée en dix parties égales par les points A, B, C, D, E, F, G, II, K, I.

En j oignant les points de division consécutifs, ou obtient le décagone régulier convexe ABCDEFGïIKI; en joignant les points de division de trois en trois, on obtient le décagone régulier étoilé ADG1CFKBE1I (270). II s’agit de construire les côtés AB et AD de ces deux décagones.

Fig. 190. Fig. 191.

Or, en remarquant [fig. 191) que le rayon BO prolonge passe